Real Complex Analysis

यदि f(x,y) तथा g(x,y) बिन्दु (a, b) पर अवकलनीय फलन है, तो f(x, y) + g(x, y) भी बिन्दु (a, b) पर अवकलनीय होगा, सिद्ध करो ।

If f(x,y) and g(x,y) are differentiable at (a, b) then prove that f(x,y)+g(x,y) is also differentiable at (a, b).

\(\int_{a}^{\infty}\frac{e^{-x}cos~x}{x^{2}}\) की अभिसारिता का परीक्षक्षण की जिए।

Test the convergence of \(\int_{a}^{\infty}\frac{e^{-x}cos~x}{x^{2}}\)

माना (X, d) एक पूर्ण दूरीक समष्टि है, तथा (Y, d) इसका एक उपसमष्टि है, तो सिद्धकी जिए कि Y पूर्ण होगा यदि और केवल यदि Y संवृत समुच्चय हो ।

Let (X, d) be a complete metric space and (Y, d) be it's a subspace. Then prove that Y will be complete if and only if Y is a closed set.

किसी दूरीक समष्टि (X, d) के लिए सिद्धकी जिए -

For any metric space (X, d) prove that

\(d(x,y)\ge|d(x,z)-d(z,y)|\)

यदि \(Z_{1}\) और \(z_{2}\) सम्मिश्र संख्यायें हों, तब दर्शाइये कि \(|z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|\).

If \(Z_{1}\) and \(z_{2}\) are two complex numbers then show that \(|z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|\).