Abstract Algebra - BU 2022 Question Paper

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AV-293

B.Sc. II^nd Year (Reg./Pvt.)

Main Examination, 2022

Mathematics

Paper - I

Abstract Algebra

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks :

Reg. 40

Pvt. 50

Note :- All question are compulsory.

नोट :- सभी प्रश्न अनिवार्य है ।

SECTION - 'A'

खण्ड - 'अ'

Choose the correct answer -

सही उत्तर का चयन कीजिए -

(i)

निम्नलिखित में से समूह नहीं है ।

Which of the following is not a group.

(a) (N, +)

(b) (R, +)

(d) इनमें से कोई नहीं / None of these

(ii)

चक्रीय समूह का प्रत्येक विभाग समूह चक्रीय है ।

Every quotient group of a cyclic group is cyclic.

(a) नहीं

(b) हाँ

(d) इनमें से कोई नहीं

(iii)

यदि A =

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

और B =

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

तो सत्य है :

If A =

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

and B =

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

then which of following is true:

(a) AB ≠ BA

(b) AB = BA

(d) AB = I = BA

(iv)

यदि f : G → G जो f(x) = x^-1, ∀x∈G से परिभाषित हो तब f स्वरूपिता है समूह G की यदि

If f : G → G be defined by f(x) = x^-1, then f is automorphism on G if:

(a) G semi group

(b) G is monoid

(d) G is abelian group

(v)

निम्नलिखित में से कौन-सी वलय नहीं है ।

Which of the following structure is not a ring.

(a) (2I, +, .)

(b) (R, +, .)

(d) (C, +, .)

SECTION - 'B'

खण्ड - 'ब'

Short Answer Type Questions

लघु उत्तरीय प्रश्न

यदि द्विआधारी संक्रिया O के सापेक्ष G एक समूह हो तो G में वाम निरसन नियम एवं दक्षिण निरसन नियम सत्य होते है अर्थात् सभी a, b, c∈G के लिए

If G be a group with binary operation O. left and right cancellation rule true. For all a,b,c ∈G

aob = aoc ⇒ b = c

and boa = coa ⇒ b = c

OR/अथवा

समूह G के किसी अवयव a का प्रसामान्यक N(a), G का एक उपसमूह है । जहाँ N(a) = {x∈G: ax = xa}।

If a ∈ G, we define the normalizer of a in G by the set N(a) = {x∈G: ax = xa}. Show that N(a) is a subgroup of G.

यदि H, समूह G का उपसमूह हो, और h∈H तब Hh = H = hH

If H is any subgroup of G and h∈H then Hh = H = hH

OR/अथवा

विभाग समूह की परिभाषा लिखिए।

Define Quotient Groups.

यदि f: G→G' समूहों की समाकारिता हो और e, e' क्रमशः G और G' के तत्समक अवयव है तो सिद्ध कीजिए f(e) = e'

If f: G→G' is homomorphism of groups, then prove that f(e) = e', where e and e' are the identityes of G and G' respectively.

OR/अथवा

संयुग्मी अवयव की परिभाषा लिखिए और उदाहरण दीजिए।

Define conjugate elements with example.

माना R⁺ धनात्मक वास्तविक संख्याओं का गुणात्मक समूह है । माना f: R* → R* परिभाषित है f(x) = x², ∀x∈R* तब दर्शाइये एक स्वरूपिता है।

Let R⁺ be the multiplication group of all strictly positive real number Define f: R* → R* by f(x) = x², ∀x∈R* Prove that f is an automorphism.

OR/अथवा

प्रत्येक क्रमविनिमेय वलय का समाकारी प्रतिबिंब एक क्रमविनिमेय वलय होती है ।

Every homomorphic image of a commutative ring is a commutative ring.

SECTION - 'C'

खण्ड - 'स'

Long Answer Type Questions

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

समूह के परिमित समूह का प्रत्येक उपसमूह की कोटि समूह की कोटि का भाजक होता है।

The order of each subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group.

OR/अथवा

किसी समूह के दो प्रसामान्य उपसमूहों का सर्वनिष्ट प्रसामान्य उपसमूह होता है ।

The intersection of any two normal subgroups of a group is a normal subgroup.

सिद्ध करो कि इकाई के चार चतुर्थ मूलों समुच्चय (1, -1, i, -i) आवेली गुणात्मक समूह का का परिमित समूह है ।

Show that the set of fourth roots of unity (1, -1, i, -i) forms an abelian group with respect to multiplication.

OR/अथवा

चक्रीय समूह का प्रत्येक उपसमूह चक्रीय होता है ।

Every subgroup of a cyclic group is cyclic.

परिमित समूह के प्रत्येक उपसमूह की कोटि समूह की कोटि का भाजक होता है।

The order of each subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group.

OR/अथवा

सिद्ध कीजिए कि n-प्रतीकों पर n! क्रमचयों में n!/2 सम होते है और n!/2 विषम होते है ।

Prove that of the n! permutations on n symbols,

$$\frac{n!}{2}$$

are even permutations and

$$\frac{n!}{2}$$

are odd permutation.

यदि G और G' कोई दो समूह है और f : G → G' आच्छादक समाकारिता हो जिसकी अष्टि K हो तो G/K तुल्यकारी हो G' के अर्थात् G/Ker f ≅ G'

Let G and G' be two groups and f:G → G' is a homomorphism of G onto G'. If K is the kernel of f then prove that G/K is isomorphic to G' i.e. G/Ker f ≅ G'

OR/अथवा

The intersection of any two normal subgroups of a group is a normal subgroup.

10.

समूह G का केन्द्र Z(G) हमेशा G का प्रसामान्य उपसमूह होता है।

The centre Z(G) of any group G is a normal subgroup of G.

OR/अथवा

माना G एक परिमित आवेली समूह है, p अभाज्य संख्या है और p|o(G), तब यहाँ एक अवयव a ≠ e ∈ G का अस्तित्व इस प्रकार से होगा कि ap = e.

Let G be a finite Abelian group, p is a prime number and p|o(G), then an element a ≠ e ∈ G will exist in such a way that ap = e.

11.

किसी वलय R का प्रत्येक समाकारी प्रतिविम्ब उसके किसी विभाग वलय के तुल्यकारी होता है।

Every homomorphic image of a ring is isomorphic to its quotient ring.

OR/अथवा

प्रत्येक परिमित पूर्णांकीय प्रांत क्षेत्र होता है।

Every finite integral domain is a field.