Advanced Calculus - BU 2022 Question Paper

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AV-294

B.Sc. II^nd Year (Reg./Pvt.)

Main Examination, 2022

Mathematics

Paper - II

Advanced Calculus

Time: 3 Hours]

[Maximum Marks : Reg. 40
Pvt. 50]

नोट :- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।

Note :- All questions are compulsory.

खण्ड - 'अ'

SECTION - 'A'

सही उत्तर का चयन कीजिए :

Choose the correct answer :

(i) $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$ का मान है

(a) $x^a$

(b) $e^x$

(d) $xe^x$

(ii) फलन $\sin x$ संतत है यदि

function $\sin x$ is continuous if

(a) $x \in Q$

(b) $x \in I$

(d) None of these

(iii) $\lim_{(x,y) \to (1,2)} (x^2 + 2y)$ का मान होगा

$\lim_{(x,y) \to (1,2)} (x^2 + 2y)$ is

(a) 1

(b) 2

(d) 5

(iv) फलन $f(x, y)$, बिंदु $(a, b)$ पर उच्चिष्ठ रखता है यदि

function $f(x,y)$ has maxima at $(a,b)$ if

(a) $rt - s^2 < 0, r > 0$

(b) $rt - s^2 < 0, r < 0$

(d) $rt - s^2 > 0, r < 0$

(v) $\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1 + xyz) \,dx \,dy \,dz$ का मान है

$\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1 + xyz) \,dx \,dy \,dz$ is

(a) $\frac{3}{7}$

(b) $\frac{9}{8}$

(d) इनमें से कोई नहीं

(d) None of these

खण्ड - 'ब'

SECTION - 'B'

लघु उत्तरीय प्रश्न

Short Answer Type Questions

2×5=10

अभिसारी अनुक्रम को परिभाषित करो?

Define convergent sequence?

अथवा/OR

अभिसारी श्रेणी को परिभाषित करो?

Define convergent series?

दिखाइये कि फलन $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{when } x \ne 1 \\ 2 & \text{when } x = 1 \end{cases}$ $x = 1$ पर असंतत है?

Show that function $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{when } x \ne 1 \\ 2 & \text{when } x = 1 \end{cases}$ is discontinuous at $x = 1$.

अथवा/OR

फलन $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ के लिए अंतराल $[2, 4]$ में लाग्रॉन्ज के मध्यमान प्रमेय को सत्यापित कीजिये?

Verify Lagrange's mean value theorem for function $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ in interval $[2, 4]$.

$\varepsilon-\delta$ तकनीक के प्रयोग से सिद्ध कीजिये कि $\lim_{(x,y) \to (2,3)} xy = 6$

Prove that $\lim_{(x,y) \to (2,3)} xy = 6$ by $\varepsilon-\delta$ technique.

अथवा/OR

यदि $u = f\left(\frac{y}{x}\right)$ तो आयलर प्रमेय से सिद्ध कीजिये कि $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 0$

If $u = f\left(\frac{y}{x}\right)$ then prove that by eulers theorem $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 0$

फलन $u = x^3 + y^3 - 3axy$ के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ का मान ज्ञात करो?

Find maxima or minima of the function $u = x^3 + y^3 - 3axy$.

अथवा/OR

दिखाइये कि $\int_0^\infty \frac{\Gamma(m) \Gamma(1/2)}{\Gamma(m+1/2)} = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2m-1}}$ जहाँ $m$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।

Show that $\frac{\Gamma(m) \Gamma(1/2)}{\Gamma(m+1/2)} = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2m-1}}$ where $m$ is a real number.

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के $x$-अक्ष के परितः घुमाने से बने ठोस का आयतन ज्ञात करो?

Find the volume of solid, generated by rotation of ellipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ about the $x$-axis.

अथवा/OR

द्विध समाकलन का क्रम बदलिये।

Change of order of Integration of double integral.

$I = \int_0^1 \int_0^1 \cos(x^2 - xy) \,dy \,dx$

खण्ड - 'स'

SECTION - 'C'

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

Long Answer Type Questions

5×5=25

प्रत्येक कौशी अनुक्रम परिबद्ध होता है परन्तु इसका विलोम सत्य नहीं है सिद्ध कीजिये?

Prove that every cauchy sequence is bounded but its converse is not true?

अथवा/OR

निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण का परिक्षण कीजिये :

$\frac{x}{1.2} + \frac{x^2}{2.3} + \frac{x^3}{3.4} + \frac{x^4}{4.5} + \dots , x > 0$

Test the convergent or divergent of the following series

$\frac{x}{1.2} + \frac{x^2}{2.3} + \frac{x^3}{3.4} + \frac{x^4}{4.5} + \dots , x > 0$

निम्न फलन का $x = 0$ पर सांतत्यता के लिये परीक्षण कीजिये?

$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

Test of continuity of the following function at $x = 0$

$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

अथवा/OR

दिखाइये कि फलन

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{जब } x \ge 1 \\ 1 - x, & \text{जब } x < 1 \end{cases}$

$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

Show that function $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{when } x \ge 1 \\ 1 - x, & \text{when } x < 1 \end{cases}$ is not Differentiable at $x = 1$

यदि $u = e^{xyz}$ तो दर्शाइये कि

$\frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} = (1 + 3xyz + x^2y^2z^2) e^{xyz}$

If $u = e^{xyz}$ then show that

$\frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} = (1 + 3xyz + x^2y^2z^2) e^{xyz}$

अथवा/OR

सिद्ध करो कि

$\frac{\partial(u, v, w)}{\partial(x, y, z)} \times \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} = 1$

Prove that

$\frac{\partial(u, v, w)}{\partial(x, y, z)} \times \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} = 1$

10.

$u$ के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ का विवेचना कीजिये।

$u = \sin x \sin y \sin(x+y)$

Describe $u$ has maxima or minima

$u = \sin x \sin y \sin(x+y)$

अथवा/OR

सिद्ध कीजिये कि $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$

Prove that $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$

11.

मूल्यांकन कीजिये $\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} x \,dz \,dy \,dx$

Evaluate $\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} x \,dz \,dy \,dx$

अथवा/OR

समाकलन में समाकलन का क्रम बदलिये

Change the order of integration

$\int_0^{2a} \int_{\frac{x^2}{4a}}^{3a-x} f(x, y) \,dy \,dx$