Advanced Calculus

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AV-294

B.Sc. II^nd Year (Reg./Pvt.)

Main Examination, 2022

Mathematics

Paper - II

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : Reg. 40

Pvt. 50

नोट :- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
Note :- All questions are compulsory.
खण्ड - 'अ'
SECTION - 'A'

सही उत्तर का चयन कीजिए :
Choose the correct answer :

(i)

lim

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$

का मान है
(a) x^x
(b) e^x
(c) e²
(d) xe^x

(ii)

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^n$

is
(a) x^x
(b) e^x
(c) e¹
(d) xe^x

(iii)

फलन sin x संतत है यदि
function sin x is continuous if
(a) x∈Q
(b) x∈I
(c) x∈R
(d) इनमें से कोई नहीं
None of these

(iv)

$\lim_{(x,y) \to (1,2)} (x^2 + 2y)$

का मान होगा
(a) 1
(b) 2
(c) 4
(d) 5

(v)

फलन f(x,y) का (a, b) पर उच्चिष्ठ रखता है यदि
function f(x,y) has maxima at (a,b) if
(a) rt - s² < 0, r > 0
(b) rt - s² < 0, r < 0
(c) rt - s² > 0, r > 0
(d) rt - s² > 0, r < 0

(vi)

$\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+xyz) \,dx \,dy \,dz$

(a)

$\frac{3}{7}$

(b)

$\frac{9}{8}$

(c)

$\frac{13}{5}$

(d) इनमें से कोई नहीं
None of these

खण्ड - 'ब'
SECTION - 'B'
लघु उत्तरीय प्रश्न
Short Answer Type Questions
2×5=10

अभिसारी अनुक्रम को परिभाषित करो?
Define convergent sequence?

अथवा/OR

अभिसारी श्रेणी को परिभाषित करो?
Define convergent series?

दिखाइये कि फलन f(x) =

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{when } x \ne 1 \\ 2 & \text{when } x = 1 \end{cases}$

x = 1 पर असंतत है?
Show that function

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{when } x \ne 1 \\ 2 & \text{when } x = 1 \end{cases}$

is discontinuous at x = 1.

अथवा/OR

फलन f(x) = $\sqrt{x^2-4}$ के लिए अंतराल [2, 4] में लाग्रेंज के मध्यमान प्रमेय को सत्यापित कीजिये?
Verify Lagrange's mean value theorem for function

$f(x) = \sqrt{x^2-4}$

in interval [2, 4].

δ-ε तकनीक के प्रयोग से सिद्ध कीजिये कि $\lim_{(x,y) \to (2,3)} xy = 6$
Prove that

$\lim_{(x,y) \to (2,3)} xy = 6$

by ε-δ technique.

अथवा/OR

यदि $u = f\left(\frac{y}{x}\right)$ तो आयलर प्रमेय से सिद्ध कीजिये कि

$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = 0$

$u = f\left(\frac{y}{x}\right)$

then prove that by eulers theorem

$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = 0$

फलन u = x³ + y³ - 3axy के उच्चिष्ठ अथवा निम्ननिष्ठ का मान ज्ञात करो?
Find maxima or minima of the function u = x³ + y³ - 3axy.

अथवा/OR

दिखाइये कि $\left(\frac{m}{1}\right) \left(m+\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2m-1}}$ जहाँ m एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
Show that

$\left(\frac{m}{1}\right) \left(m+\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2m-1}}$

where m is a real number.

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को x-अक्ष के परितः घुमाने से बने ठोस का आयतन ज्ञात करो?
Find the valuem of solid, generated by rotation of ellipse

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

about the x-axis.

अथवा/OR

द्विशः समाकलन का क्रम बदलिये।
Change of order of Integration of double integral.

$I = \int_0^1 \int_y^1 \cos(x^2-xy) \,dx \,dy$

खण्ड - 'स'
SECTION - 'C'
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
Long Answer Type Questions
5×5=25

प्रत्येक कौशी अनुक्रम परिबद्ध होता है परन्तु इसका विलोम सत्य नहीं है सिद्ध कीजिए?
Prove that every cauchy sequence is bounded but its converse is not true?

अथवा/OR

निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण का अपसरण का परीक्षण कीजिए :

$\frac{x}{1.2} + \frac{x^2}{2.3} + \frac{x^3}{3.4} + \frac{x^4}{4.5} + \dots, x > 0$

Test the convergent or divergent of the following series

$\frac{x}{1.2} + \frac{x^2}{2.3} + \frac{x^3}{3.4} + \frac{x^4}{4.5} + \dots, x > 0$

निम्न फलन का x = 0 पर सांतत्यता के लिये परीक्षण कीजिये?

$f(x) = \begin{cases} e^{1/x} - 1 / e^{1/x} + 1, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

Test of continuity of the following function at x = 0

$f(x) = \begin{cases} e^{1/x} - 1 / e^{1/x} + 1, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

अथवा/OR

दशाइये कि फलन

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{जब } x \ge 1 \\ 1 - x, & \text{जब } x < 1 \end{cases}$

x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।
Show that function

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{when } x \ge 1 \\ 1 - x & \text{when } x < 1 \end{cases}$

is not differentiable at x = 1.

यदि $u=e^{xyz}$ तो दशाइये कि

$\frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} = (1 + 3xyz + x^2y^2z^2) e^{xyz}$

$u=e^{xyz}$

then show that

$\frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} = (1 + 3xyz + x^2y^2z^2) e^{xyz}$

अथवा/OR

सिद्ध करो कि

$\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} \times \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = 1$

Prove that

$\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} \times \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = 1$

10.

u के उच्चिष्ठ अथवा निम्ननिष्ठ की विवेचना कीजिये।
u = sinx siny sin (x+y)
Describe u has maxima or minima
u = sinx siny sin (x+y)

अथवा/OR

सिद्ध कीजिये कि $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$
Prove that

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$

11.

मूल्यांकन कीजिये $\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} x \,dz \,dy \,dx$
Evaluate

$\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} x \,dz \,dy \,dx$

अथवा/OR

समाकलन में समाकलन का क्रम बदलिये

$\int_0^{2a} \int_{x^2/4a}^{3a-x} f(x,y) \,dy \,dx$

Change the order of integration

$\int_0^{2a} \int_{x^2/4a}^{3a-x} f(x,y) \,dy \,dx$

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