Differential Equations - BU 2022 Question Paper

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AV-295

B.Sc. IInd Year (Reg./Pvt.)
Main Examination, 2022
Mathematics
Paper - III
Differential Equations

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : Reg. 40
Pvt. 50

नोट - सभी प्रश्न अनिवार्य है।

Note :- Attempt all questions.

खण्ड - 'अ'

SECTION - 'A'

सही उत्तर का चयन कीजिए :

Choose the Correct answer :

(i)

J_2 - J_0

बराबर है :

J_2 - J_0

is equal to :

(a)

J_1^{''}

(b)

J_0^{'}

(c)

2J_1^{''}

(d)

2J_1^{'}

(ii)

L \{1\}

का मान है :

L \{1\}

is equal to :

(a)

\frac{1}{p}

(b)

\frac{1}{p^2}

(c)

(d)

p^2

(iii)

L\textsuperscript{-1}

\left\{ \frac{1}{(p+1)^2} \right\}

का मान है :

The value of

L^{-1} \left\{ \frac{1}{(p+1)^2} \right\}

(a)

t e^{-t}

(b)

e^{-t}

(c)

(d)

t^2

(iv)

लैंग्रांज समीकरण Pp + Qq = R के सहायक समीकरण है :

The auxiliary equation of this Lagrange's equation Pp + Qq = R is :

(a)

\frac{dx}{P} = \frac{dy}{Q} = \frac{dz}{R}

(b)

\frac{dx}{Q} = \frac{dy}{R} = \frac{dz}{P}

(c)

\frac{dx}{R} = \frac{dy}{P} = \frac{dz}{Q}

(d)

इनमें से कोई नहीं

None of these

(v)

आंशिक अवकल समीकरण

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}

की प्रकृति है ?

The nature of partial differential equation

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}

is:

(a)

परवलय

parabola (b)

दीर्घवृत्त

ellipse (c)

अतिपरवलय

hyperbola (d)

वृत्त

circle

खण्ड - 'ब'

SECTION - 'B'

लघु उत्तरीय प्रश्न

Short Answer Type Questions

2×5=10

अवकल समीकरण

\frac{d^2y}{dx^2} + x.y = 0

को घात श्रेणी विधि से हल कीजिए।

Solve the differential equation

\frac{d^2y}{dx^2} + x.y = 0

by power series method.

बेसल अवकल समीकरण और बेसल फलन को परिभाषित कीजिए।

Define Bessel's differential equation and Bessel's function.

अथवा/OR

फलन F(t) = e\textsuperscript{at} का लाप्लास रूपांतर ज्ञात कीजिए।

Find the Laplace transform of the function F(t) = e^at.

दर्शाइए कि

\int_0^\infty t e^{-3t} \sin t dt = \frac{3}{50}

Show that

\int_0^\infty t e^{-3t} \sin t dt = \frac{3}{50}

अथवा/OR

फलन

\frac{1}{p^2+4}

का प्रतिलोम लाप्लास रूपांतरण ज्ञात कीजिए।

Find the Inverse Laplace transform of the function

\frac{1}{p^2+4}

संबंध z = ax + a²y + b से a एवं b को विलोपित करके आंशिक अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

By eliminating a and b from the relation z = ax + a²y + b find partial differential equation.

हल कीजिए :

Solve :

x²p + y²q = nxy

अथवा/OR

हल कीजिए :

Solve :

r = 6x

खण्ड - 'स'

SECTION - 'C'

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

Long Answer Type Questions

5×5=25

दर्शाइए कि :

Prove that :

J_1(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x - \cos x

अथवा/OR

दर्शाइए कि :

Prove that :

L^{-1} \left\{ \frac{p}{p^4+p^2+1} \right\} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sinh \left(\frac{1}{2} t\right) \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} t\right)

L{F(t)} ज्ञात कीजिए, जहाँ :

Find L{F(t)}, where :

F(t) = \begin{cases} \cos \left(t-\frac{2\pi}{3}\right), & t > \frac{2\pi}{3} \\ 0, & t < \frac{2\pi}{3} \end{cases}

अथवा/OR

दर्शाइए कि :

Prove that :

\int_0^\infty \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}

सिद्ध करो कि :

Prove that :

P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n

अथवा/OR

सिद्ध करो कि :

Prove that :

L^{-1} \left\{ \frac{1}{(p+a)^3} \right\} = \frac{1}{2} t^2 e^{-at}

10.

आंशिक अवकल समीकरण pq = x³y²z का पूर्ण हल ज्ञात कीजिए।

Find the complete integral of the partial differential equation pq = x³y²z.

अथवा/OR

पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए :

Find the complete integral :

z(p² - q²) = x - y.

11.

हल कीजिए : Solve :

p + r + s = 1

अथवा/OR

हल कीजिए : Solve :

4r - 4s + t = 16 \log (x + 2y)