Abstract Algebra And Linear Algebra - BU 2024 Question Paper

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B.Sc. (Second Year) (NEP) (REG/PVT)

Examination, 2024

(Major, Minor)

MATHEMATICS

BA/BSc(MJ2341, 2212)

Abstract Algebra and Linear Algebra

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : 70

नोट : सभी खण्डों के प्रश्न निर्देशानुसार हल कीजिए । अंकों का विभाजन खण्डों के साथ दिया गया है ।

Attempt questions of all Sections as directed. Distribution of marks is given with Sections.

यदि कोई समूह G हो, तो सिद्ध कीजिए कि :

$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} \; \forall a, b \in G.$

For any group G, prove that :

$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} \; \forall a, b \in G.$

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक चक्रीय समूह आबेली होता है ।

Prove that every cyclic group is abelian.

समूहों की तुल्यकारिता को परिभाषित कीजिए ।

Define isomorphism of groups.

सिद्ध कीजिए कि किसी क्षेत्र की उचित गुणजावली नहीं होती है ।

Prove that a field has no proper ideal.

सिद्ध कीजिए कि समुच्चय W = {(a, b, 0): a, b ∈ F}, V₃(F) का एक सदिश उपसमष्टि है ।

Show that the set W = {(a, b, 0): a, b ∈ F} is a vector subspace of V₃(F).

नोट : किन्हीं चार प्रश्नों को हल कीजिए । सभी प्रश्नों के अंक समान हैं ।

Attempt any four questions. All questions carry equal marks.

ब्रह्मगुप्त का जीवनी पर टिप्पणी लिखिए ।

Write a note about biography of Brahmagupta.

सिद्ध कीजिए कि इकाई के चतुर्थ मूल आबेली गुणात्मक कोटि 4 का परिमित समूह है ।

Prove that fourth root of unity form an Abelian finite group of order 4.

समूह G के दो उपसमूहों का सर्वनिष्ठ G का उपसमूह होता है । सिद्ध कीजिए ।

The intersection of two subgroups of a group G is a subgroup of G. Prove.

यदि S वलय R की गुणजावली हो, तो दर्शाइए R/S, R का समाकारी प्रतिबिम्ब है ।

If S is an ideal of the ring R, then show that R/S is homomorphic image of R.

10.

दर्शाइए कि सदिश S = {(2, 1, 4), (3, 1, –2), (1, –1, 2)}, V₃(R) के लिए एक आधार निर्मित करते हैं ।

Show that the set S = {(2, 1, 4), (3, 1, –2), (1, –1, 2)} is a basis set of V₃(R).

11.

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक परिमित रूप से जनित सदिश समष्टि का एक परिमित आधार होता है ।

Prove the every finitely generated vector space has finite basis.

नोट : किन्हीं दो प्रश्नों को हल कीजिए । सभी प्रश्नों के अंक समान हैं ।

Attempt any two questions. All questions carry equal marks.

12.

V₃(R) पर रैखिक रूपांतरण T का, जो :

T(a, b, c) = (2b+c, a-4b, 3a)

से परिभाषित है, आधार β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} के सापेक्ष आव्यूह ज्ञात कीजिए ।

Find the matrix representation of linear tranformation T on V₃(R) defined as :

T(a, b, c) = (2b+c, a-4b, 3a),

corresponding to the basis :

β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

13.

एक चक्रीय समूह की कोटि जनक अवयव की कोटि के बराबर होती है । सिद्ध कीजिए ।

The order of a cyclic group is same as the order of its generator. Prove.

14.

Every homomorphic image of ring is isomorphic to some quotient ring. Prove.

15.

सिद्ध कीजिए कि किसी सदिश समष्टि V(F) के एक अरिक्त उपसमुच्चय W को V का एक उपसमष्टि होने के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त प्रतिबन्ध है :

∀α,β ∈ W तथा a,b ∈ F ⇒ aα + bβ ∈ W

A subset W of a vector space V(F) is a subspace of V iff ∀α,β ∈ W and a,b ∈ F ⇒ aα + bβ ∈ W.

Prove.

16.

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक क्षेत्र एक पूर्णांकीय प्रान्त होता है । आगे दर्शाइए कि प्रत्येक पूर्णांकीय प्रान्त, क्षेत्र नहीं होता है, लेकिन परिमित अवयवों वाला पूर्णांकीय प्रान्त D क्षेत्र होता है ।

Prove that every field is necessarily an integral domain.

Further show that every integral domain D with finite number of elements is a field.