Real Complex Analysis - BU 2022 Question Paper

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Objective Type Questions

AV-347

B.Sc. III^rd Year (Reg./Pvt.)

Main Examination, 2022

Mathematics

Paper - II

Real Complex Analysis

[Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : Reg. 40 Pvt. 50

नोट :- सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिये -

Note :- Attempt all questions.

खण्ड - 'अ'

SECTION - 'A'

सही उत्तर का चयन कीजिए :

Choose the correct answer :

फलन f(z) = u+iv के लिए कौशी-रीमान समीकरण है -

The Cauchy - Riemann equations for f(z) = u+iv are

(a) ∂u/∂x = ∂v/∂y and ∂u/∂y = ∂v/∂x

(b) ∂u/∂x = ∂v/∂y and ∂u/∂y = -∂v/∂x

(d) None of these

प्रत्येक एक समान संतत फलन होता है -

Every uniform continuous function is :

(a) Continuous

(b) Discontinuous

(d) None of these

दूरीक समष्टि में प्रत्येक कौशी अनुक्रम होती है -

Every cauchy sequences in a metric space is :

(a) Convergent

(b) Divergent

(d) None of these

फलन f (x,y) = 2x² - xy + 2y² के लिए f_x (1, 2) का मान होगा -

If f(x,y) = 2x² - xy + 2y², then value of f_x (1, 2) will be -

(a) 0

(b) -1

(d) 2

फलन f (x, y) बिंदु (0,0) पर अवकलनीय है यदि -

If f(x,y) is differentiable at (0,0) then:

(a) f_x (a,b) = f_y (a,b)

(b) Only f_x (a,b) exist

(d) None of these

खण्ड - 'ब'

SECTION - 'B'

लघु उत्तरीय प्रश्न

Short Answer Type Questions

5×2=10

उपरी तथा निम्न रीमान योग की परिभाषा दीजिये।

Define upper and lower Riemann integral.

अथवा/OR

विश्लेषित फलन की परिभाषा दीजिए तथा फलन f (z) के विश्लेषित होने के लिए कौशी-रीमान समीकरण लिखो।

Define Analytic function and write cauchy reimann condition for a function f(z) to be analytic.

सिद्ध कीजिए कि किसी दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के मध्य कम से कम एक परिमेय संख्या होती है।

Prove that between any two different real numbers, there lies at least one rational number.

अथवा/OR

समिश्र संख्या (1-i)/(1+i) का मापांक एवं कोंणाक ज्ञात कीजिए।

Find modulus and argument of the following number (1-i)/(1+i)

समाकलन ∫₁^∞ dx/(1+x²) की अभिसारिता का परीक्षण कीजिये।

Test the convergence of the integral ∫₁^∞ dx/(1+x²)

अथवा/OR

फलन f (x,y) = { (xy / √(x²+y²)) , (x,y) ≠ (0,0) ; 0 , (x,y) = (0,0) } की संतता का परीक्षण बिंदु (0,0) पर कीजिये।

Test the continuity of the function f(x,y) = { (xy / √(x²+y²)) , (x,y) ≠ (0,0) ; 0 , (x,y) = (0,0) } at the point (0,0).

दूरीक समष्टि को उदाहरण सहित परिभाषित कीजिए।

Define metric space with example.

अथवा/OR

सिद्ध कीजिए कि एक विश्लेषित फलन के वास्तविक एवं अधिकल्पित भाग लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

Prove that real and imaginary part of an analytic function satisfies laplace equation.

विश्लेषित फलन f(z) = u+iv, का निर्माण कीजिये जहाँ कि u=y³-3x²y है।

Construct the analytic functions f(z) = u+iv, where u=y³-3x²y.

अथवा/OR

यदि फलन f (x,y) = e^x²-y² है, तो आंशिक अवकलन f_x (0,0) एवं f_y (0,0) ज्ञात कीजिये।

If f(x,y) = e^x²-y², compute partial derivative f_x (0,0) and f_y (0,0).

खण्ड - 'स'

SECTION - 'C'

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

Long Answer Type Questions

5×5=25

सिद्ध कीजिए कि f(x,y) = { (x³-y³)/(x²+y²) , यदि (x,y) ≠ (0,0) ; 0 , अन्यथा } बिंदु (0,0) पर संतत है, किंतु अवकलनीय नहीं है।

Let f(x,y) = { (x³-y³)/(x²+y²) , if (x,y) ≠ (0,0) ; 0 , otherwise } Show that f(x,y) is continuous but not differentiable at (0,0).

अथवा/OR

मान लो F ∈ R [a,b] तथा F [a,b] पर एक अवकलनीय फलन इस प्रकार है कि F'(x) = f(x) ∀ x ∈ R [a,b], तब सिद्ध कीजिये कि ∫_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)

If F ∈ R[a,b] and let F be a differentiable function on [a,b] such that F'(x)=f(x) ∀ x ∈ [a,b], then prove that ∫_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)

सिद्ध कीजिए कि फलन u = x³-3xy² + 3y²+1 लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है। संतत विश्लेषित फलन ज्ञात कीजिये, जिसका यह वास्तविक भाग है।

Prove that the function u = x³-3xy² + 3y²+1 satisfies Laplace equation and determine corresponding analytic function u+iv.

अथवा/OR

सिद्ध कीजिए कि दूरीक समष्टि में प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम कौशी अनुक्रम होता है।

Prove that every convergent sequence in a metric space is a cauchy sequence.

फलन f(x) = x² के लिए अंतराल (-z,z) में फूरियर श्रेणी प्राप्त कीजिये।

Find the fourier series of the function f(x)=x², in the interval (-z,z).

अथवा/OR

सामयिक फलन की परिभाषा कीजिये एवं किसी फलन को फूरियर श्रेणी में दर्शाने के लिए आवश्यक डिरीचलेट प्रतिबंध को लिखिये।

Define periodic function and write Dirichlet's condition required for a function to express in Fourier series.

10.

समाकलन ∫₀^∞ cos x / (1+x²) dx की अभिसारण का परीक्षण कीजिये।

Test the convergence of integral ∫₀^∞ cos x / (1+x²) dx

अथवा/OR

मान लो f ∈ R [a,b] परिबद्ध फलन है तो अंतराल [a,b] के विभाजन p के लिए L (p,f) एवं U (p,f) भी परिबद्ध होंगे।

Prove that if f: [a,b] → R is bounded then for any partition p of [a,b], L(p,f) and U(p,f) are bounded.

11.

सिद्ध कीजिये कि प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए एक ऐसे अद्वितीय पूर्णांक n का अस्तित्व है कि x-1 ≤ n < x

Prove that for any real number x, there exist a unique integer n such that x-1 ≤ n < x.

अथवा/OR

कौशी का अवशेष प्रमेय लिखिये तथा सिद्ध कीजिये।

State and prove Cauchy's Residue theorem.