Real Complex Analysis

The Cauchy - Riemann equations for f(z)=u+iv ar

(a) $\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}$ and $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$

(b) $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

(c) $\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}$ and $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

(d) None of these

फलत f(z) = u+iv के लिए कौशी-रीमान समीकरण है -

(a) $\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}$ and $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$

(b) $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

(c) $\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}$ and $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

(d) इनमें से कोई नहीं

Every uniform continuous functions is :

(a) Continuous

(b) Discontinuous

(c) Bounded

(d) None of these

प्रत्येक एक समान संतत फलन होता है -

(a) संतत

(b) असंतत

(c) परिबद्ध

(d) इनमें से कोई नहीं

Every cauchry sequences in a metric space is :

(a) Convergent

(b) Divergent

(c) Bounded

(d) None of these

दूरीक समष्टि में प्रत्येक कौशी अनुक्रम होती है -

(a) अभिसारी

(b) अपसारी

(c) परिबद्ध

(d) इनमें से कोई नहीं

If f(x,y) = 2x²-xy+2y², then value of fₓ (1, 2) will be -

(a) 0

(b) -1

(c) 1

(d) 2

फलन f(x,y) = 2x²-xy+2y² के लिए fₓ (1, 2) का मान होगा -

(a) 0

(b) -1

(c) 1

(d) 2

If f(x,y) is differentiable at (0,0) then:

(a) fₓ (a,b) = fᵧ (a,b)

(b) Only fᵧ (a,b) exist

(c) Only fₓ (a,b) exist

(d) None of these

फलन f(x,y) बिंदु (0,0) पर अवकलनीय है यदि -

(a) fₓ (a,b) = fᵧ (a,b)

(b) सिर्फ fᵧ (a,b) का अस्तित्व है

(c) सिर्फ fₓ (a,b) का अस्तित्व है

(d) इनमें से कोई नहीं

Define upper and lower Riemann integral.

उपरि तथा निम्न रीमान योग की परिभाषा दीजिये।

Define Analytic function and write cauchy reimann condiction for a function f(z) to be analytic.

विश्लेषित फलन की परिभाषा दीजिए तथा फलन f (z) के विश्लेषित होने के लिए कौशी-रीमान समीकरण लिखें।

Prove that between any two different real numbers, there lies at least one rational number.

सिद्ध कीजिए कि किसी दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के मध्य कम से कम एक परिमेय संख्या होती है।

Find modulus and argument of the following number $\frac{1-i}{1+i}$

सम्मिश्र संख्या $\frac{1-i}{1+i}$ का मापांक एवं कोणांक ज्ञात कीजिए।

Test the convergence of the integral $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$

समाकलन $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$ की अभिसारिता का परीक्षण कीजिये।

Test the continuity of the function

at the point (0,0).

फलन $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ की संतता का परीक्षण बिंदु (0,0) पर कीजिए।

Define metric space with an example.

दूरीक समष्टि को उदाहरण सहित परिभाषित कीजिए।

Prove that real and imaginary part of an analytic function satisfies laplace equation.

सिद्ध कीजिए कि एक विश्लेषित फलन के वास्तविक एवं अधिकल्पित भाग लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

Construct the analytic functions f(z) = u+iv, where u = y³-3x²y.

विश्लेषित फलन f(z) = u+iv, का निर्धारण कीजिये जहाँ कि u = y³-3x²y है।

If f(x,y) = e^x+y², compute partial derivation fₓ (0,0) and fᵧ (0,0).

यदि फलन f(x,y) = e^x+y² है, तो आंशिक अवकलन fₓ (0,0) एवं fᵧ (0,0) ज्ञात कीजिए।

Show that f(x,y) is continuous but not differentiable at (0,0).

सिद्ध कीजिए कि फलन

बिंदु (0,0) पर संतत है, किंतु अवकलनीय नहीं है।

If $f \in R [a,b]$ and let $F$ be a differentiable function on $[a, b]$, such that $F'(x) = f(x) \forall x \in [a, b]$, then prove that $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a)$

मान लो $f \in R [a,b]$ तथा $F$ [a,b] पर एक अवकलनीय फलन इस प्रकार है कि $F'(x) = f(x) \forall x \in R [a,b]$, तब सिद्ध कीजिए कि $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a)$

Prove that the function u = x³-3xy²-3y²+1 satisfies Laplaces equation and determine corresponding analytic function u+iv.

सिद्ध कीजिए कि फलन u = x³-3xy²-3y²+1 लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है। संतत विश्लेषित फलन ज्ञात कीजिए, जिसका यह वास्तविक भाग है।

prove that every convergent sequence in a metric space is a cauchy sequence.

सिद्ध कीजिए कि दूरीक समष्टि में प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम कोशी अनुक्रम होता है।

Find the fourier series of the function f(x) = x² in the interval (-2, 2).

फलन f(x) = x² के लिए अंतराल (-2, 2) में फूरियर श्रेणी प्राप्त कीजिये।

Define periodic function and write Dirichlet's condition required for a function to express in fourier series.

आवर्ती फलन की परिभाषा दीजिये एवं किसी फलन को फूरियर श्रेणी में दर्शाने के लिए आवश्यक डिरीचलेट प्रतिबंध को लिखें।

Test the convergence of integral $\int_{1}^{\infty} \frac{\cos x}{1+x^2} dx$

समाकलन $\int_{1}^{\infty} \frac{\cos x}{1+x^2} dx$ के अभिसरण का परीक्षण कीजिए।

Prove that if $f: [a,b] \to R$ is bounded then for any partition $p$ of $[a,b]$, L(p,f) and U(p,f) are bounded.

मान लो $f \in R [a,b]$ परिबद्ध फलन है तो अंतराल [a,b] के विभाजन $p$ के लिए L(p,f) एवं U(p,f) भी परिबद्ध होंगे।

Prove that for any real number x, there exist a unique integer n such that x-1 <= n < x.

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए एक ऐसे अद्वितीय पूर्णांक n का अस्तित्व है कि x-1 <= n < x।

State and prove Cauchy's Residue theorem.

कौशी का अवशेष प्रमेय लिखिए तथा सिद्ध कीजिए।