Real And Complex Analysis

(i) For any partition σ of [a, b] \( \int_a^b f(x) dx \) is equivalent to :

अन्तराल [a, b] के विभाजन σ के लिए \( \int_a^b f(x) dx \) तुल्य है :

(a) sup U [f, σ]

(b) inf U [f, σ]

(c) sup L [f, σ]

(d) inf L [f, σ]

(ii) The \( \int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{(x-2)(4-x)}} \) is of :

अनुचित समाकल \( \int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{(x-2)(4-x)}} \) है :

(a) first kind

(ब) प्रथम प्रकार का है

(b) second kind

(स) द्वितीय प्रकार का है

(c) third kind

(द) तृतीय प्रकार का है

(d) proper integral

(य) उचित समाकल है

(iii) Let G be a subset of a metric space X. Then the set G is open if and only if each point of G is :

माना किसी मेट्रिक स्पेस X का एक उपसमुच्चय G है । तब समुच्चय G विवृत समुच्चय होगा, यदि G का प्रत्येक बिन्दु उसका:

(a) an interior point

(अ) अभ्यन्तर बिन्दु हो

(b) a boundary point

(ब) परिसीमा बिन्दु हो

(c) an external point

(स) बाह्य बिन्दु हो

(d) None of the above

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

(iv) If \( f(z) = u + iv \) is an analytic function, then :

यदि \( f(z) = u + iv \) विश्लेषिक हो, तब :

(a) \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)

(ब) \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)

(स) \( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0 \)

(d) None of the above

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

(v) The singular points of the function \( f(z) = \frac{1}{4z - z^2} \) are :

फलन \( f(z) = \frac{1}{4z - z^2} \) के विचित्रता बिन्दु हैं :

(a) \( z = 0 \) तथा \( z = -4 \)

(b) \( z = 0 \) तथा \( z = 4 \)

(c) \( z = 4 \) तथा \( z = -4 \)

(d) \( z = 2 \) तथा \( z = -2 \)

2. Let \( f : [a,b] \to R \) be a bounded function and σ is any partition of [a, b], then prove that :
\( L[f, \sigma] \le U[f, \sigma] \)

माना कि \( f : [a,b] \to R \) एक परिबद्ध फलन है तब सिद्ध कीजिए [a, b] के विभाजन σ के लिए :
\( L[f, \sigma] \le U[f, \sigma] \)

Let \( f(x) = x^3 \) on \( [0, a], a > 0 \). Show that
\( \int_0^a f(x) dx = \frac{a^4}{4} \)

माना कि \( f \in R[0, a] \) तो दर्शाइए कि :
\( \int_0^a f(x) dx = \frac{a^4}{4} \)

जहाँ \( f(x) = x^3 a > 0 \) पर \( [0, a] \) ।

3. Test the convergence of integral :
\( \int_0^\infty \frac{e^{-x} \sin x}{x^2} dx \)

समाकल की अभिसारिता का परीक्षण कीजिए :
\( \int_0^\infty \frac{e^{-x} \sin x}{x^2} dx \)

Obtain the fourier series of the function :

f(x) being a periodic function having its period \( 2\pi \).

फलन :

का फोरियर श्रेणी ज्ञात कीजिए जबकि \( f(x) \) एक आवर्ती फलन है, जिसका आवर्तक \( 2\pi \) है ।

4. Let \( (X, d) \) be a metric space and let \( d^* \) be defined by setting :
\( d^*(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)}, \forall x \in X \)

Show that \( d^* \) is a metric on X.

माना \( (X, d) \) एक दूरीक समष्टि है और \( d^* \) निम्न प्रकार से परिभाषित किया है :
\( d^*(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)}, \forall x \in X \)

दर्शाइए कि \( d^* \), X पर एक दूरीक है ।

Prove that in a metric space, the intersection of an arbitrary collection of close set is closed.

सिद्ध कीजिए किसी दूरीक समष्टि में संतृप्त समुच्चयों के संग्रह (गणनीय या अगणनीय) का सर्वनिष्ट एक संतृप्त समुच्चय होता है ।

5. Show that the function \( e^x (\cos y + i \sin y) \) is analytic and find its derivative.

दर्शाइए कि फलन \( e^x (\cos y + i \sin y) \) विश्लेषिक है, तब इसका अवकलज ज्ञात कीजिए :

Evaluate :
\( \int_C \frac{3z^2 + z}{z^2 - 1} dz \)

where C is the circle \( |z - 1| = 1 \).
मान ज्ञात कीजिए :
\( \int_C \frac{3z^2 + z}{z^2 - 1} dz \)

जहाँ वृत्त C \( |z - 1| = 1 \) है ।

6. Expand the function \( f(z) = e^z \) in a Taylor's series about \( z = 0 \).

फलन \( f(z) = e^z \) का विस्तार टेलर श्रेणी में कीजिए ।

7. Prove the mean value theorem of integral calculus that is if \( f \) is bounded function on \( [a, b] \) and \( f \in R[a, b] \), then :
\( m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a) \) if \( b \ge a \)
and \( m(b-a) \ge \int_a^b f(x) dx \ge M(b-a) \) if \( b \le a \)
where \( m \) and \( M \) are infimum and supremum of \( f \) in \( [a, b] \).

समाकल गणित का मध्यमान प्रमेय सिद्ध कीजिए, यदि \( f \) अन्तराल \( [a, b] \) में एक परिबद्ध फलन है और \( f \in R[a, b] \), तब :
\( m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a) \) यदि \( b \ge a \)
एवं \( m(b-a) \ge \int_a^b f(x) dx \ge M(b-a) \) यदि \( b \le a \)
जहाँ \( m \) तथा \( M \) फलन के निम्न तथा उपरि परिबन्ध है ।

Find the residue of \( \frac{z^2}{z^2 + a^2} \) at \( z = ia \).

\( z = ia \) पर \( \frac{z^2}{z^2 + a^2} \) के अवशेष को ज्ञात कीजिए ।

8. Examine the convergence of \( \int_0^\infty \frac{x^2}{(a^2 + x^2)^2} dx \).

समाकलन \( \int_0^\infty \frac{x^2}{(a^2 + x^2)^2} dx \) की अभिसारिता का परीक्षण कीजिए ।

Express \( f(x) = x \) as a Fourier series in the interval \( -\pi < x < \pi \).

फलन \( f(x) = x \) का अन्तराल \( -\pi < x < \pi \) में फोरियर श्रेणी ज्ञात कीजिए ।

9. Prove that in a metric space every neighborhood is an open set.

सिद्ध कीजिए कि किसी दूरीक समष्टि में प्रत्येक प्रतिवेश अथवा सामीप्य एक विवृत समुच्चय है ।

Let \( (X, d) \) be a metric space. Then prove that X is sequentially compact if and only if it has the Bolzano-Weierstrass property.

माना कि \( (X, d) \) एक दूरीक समष्टि है । सिद्ध कीजिए कि एक दूरीक समष्टि अनुक्रमिक संवृत्त है यदि और केवल यदि यह बोल्जानो-वीयरस्ट्रास प्रगुण रखता है ।

10. Use Cauchy's integral formula to evaluate :
\( \int_C \frac{e^z}{(z^2 + \pi^2)} dz \)

where C is the circle \( |z| = 4 \).

कौशी समाकलन सूत्र के प्रयोग से निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :
\( \int_C \frac{e^z}{(z^2 + \pi^2)} dz \)

जहाँ C वृत्त \( |z| = 4 \) है ।

Evaluate :
\( \int_C \frac{(z^2 - z + 1)}{z - 1} dz \)

where C is the circle \( |z| = \frac{1}{2} \).

मान ज्ञात कीजिए :
\( \int_C \frac{(z^2 - z + 1)}{z - 1} dz \)

जहाँ C वृत्त \( |z| = \frac{1}{2} \) है ।

11. Expand \( f(z) = \frac{1}{(z+1)(z+3)} \) is a Laurent's series valid for the region \( 1 < |z| < 3 \).

लॉरेंट श्रेणी में \( f(z) = \frac{1}{(z+1)(z+3)} \) का प्रसार \( 1 < |z| < 3 \) क्षेत्र में कीजिए ।

यदि :

Show that \( f_x(0,0) \) and \( f_y(0,0) \) both exist but function is not continuous at \( (0, 0) \).

दिखाइए कि \( f_x(0,0) \) तथा \( f_y(0,0) \) दोनों का अस्तित्व में हैं परन्तु फलन \( (0, 0) \) पर सतत् नहीं है ।

Determine the poles of the function, where :
\( f(z) = \frac{1}{(z+1)(z+3)} \)

फलन \( f(z) \) के ध्रुव का निर्धारण कीजिए, जहाँ
\( f(z) = \frac{1}{(z+1)(z+3)} \)

तथा प्रत्येक ध्रुव का अवशेष ज्ञात कीजिए ।