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B.Sc.B.Ed. - Ist Semester
Examination, 2022-23
Mathematics
(1.1 Algebra Trigonometry & Vector Analysis)
नोट :- प्रश्न पत्र में दो खण्ड है। खण्ड-अ में प्रत्येक प्रश्न 1 अंक है। खण्ड-ब में प्रत्येक प्रश्न 2½ अंक का है। यदि आंतरिक विकल्प दिये गये तो मान लिखिये।
Note :- There are two sections. Each question in Section-A carries 1 marks. Each question in Section-B carries 2½ marks.
खण्ड - 'अ'
SECTION - 'A'
5×1=5
नोट :- सभी प्रश्न अनिवार्य है।
Note :- Attempt all the questions.
(अ) एक सममित आव्यूह को परिभाषित कीजिये।
(a) Define the symmetric matrix.
(ब) (-1)¹/⁵ का मान ज्ञात कीजिये।
(b) Find the value of (-1)¹/⁵.
(स) समीकरण x³ - 3x² + 5x + 6 = 0 के सभी मूल हैं।
(c) Total numbers of roots the equation x³ - 3x² + 5x + 6 = 0
(द) सिद्ध करो sin⁻¹x = tan⁻¹
sin⁻¹x = tan⁻¹ x
√1+x²
(d) Prove that sin⁻¹x = tan⁻¹ x
√1+x²
(इ) सिद्ध करो कि अदिश त्रिक गुणनफल a . (b × c), (b . c × a) के बराबर है।
(e) Prove that scalar Triple product a.(b × c) is equal to b.(c × a)
खण्ड - 'ब'
SECTION - 'B'
नोट :- प्रत्येक प्रश्न के किन्हीं दो भागों को हल कीजिये। 2½ + 2½ = 5
Note :- Attempt any two parts from each question.
(a) दर्शाइये कि R³ का उपसमुच्चय {(3, 4, -1), (1, 2, 0), (1, 0, -1)} रैखिकतः परतंत्र है।
Show that the subset {(3, 4, -1), (1, 2, 0), (1, 0, -1)} of R³ is linearly dependent.
(b) आइगेन मान को उदाहरण सहित परिभाषित कीजिये।
Define the Eigen value with example.
(c) कैले हैमिल्टन प्रमेय को लिखकर सिद्ध कीजिये।
State and prove Cayley-Hamilton theorem.
(a) समीकरण x³ - 3x² - 16x + 48 = 0 के मूल ज्ञात करो। जब दो मूलों का योग शून्य है।
Find the roots of the equation x³ - 3x² - 16x + 48 = 0 when the sum of two roots is zero.
(b) वह समीकरण ज्ञात कीजिये जिसके मूल समीकरण के मूलों के व्युत्क्रम है।
x⁴ - 5x³ + 7x² + 3x - 7 = 0
Find the equation whose roots are the reciprocal of the roots of the equation.
x⁴ - 5x³ + 7x² + 3x - 7 = 0
(c) समीकरण की प्रकृति ज्ञात करो?
f(x) = 2x⁴ + 3x² - x³ - 1 = 0
Find the nature of the equation
f(x) = 2x⁴ + 3x² - x³ - 1 = 0
(a) डी मोअरे प्रमेय लिखकर सिद्ध कीजिये?
State and prove De-Moivre's theorem.
(b) हल कीजिये-
tan⁻¹ 2x + tan⁻¹ 3x = π
4
Solve-
tan⁻¹ 2x + tan⁻¹ 3x = π
4
(a) सिद्ध कीजिये-
cosh⁻¹ x = log(x + √x²-1)
Prove that-
cosh⁻¹ x = log(x + √x²-1)
(b) सिद्ध कीजिये-
32 cos⁶θ = cos 6θ + 6 cos 4θ + 15 cos 2θ + 10
Prove that-
32 cos⁶θ = cos 6θ + 6 cos 4θ + 15 cos 2θ + 10
(c) log (cos(π
4 + θ)) के गुणकों को sine और cosines की एक श्रेणी में विस्तार करो।
Expand log (cos(π
4 + θ)) in a series of sine and cosines of multiples of θ.
(d) e^(ax) cos 6x का x की आरोही क्रम की घातों की श्रेणी में विस्तार करो।
Expand e^(ax) cos 6x in a series of ascending powers of x.
(a) (a × b) . (c × d) का मान ज्ञात करो।
Find the value of (a × b) . (c × d)
(b) यदि r = (cos nt) i + (sin nt) j तो सिद्ध करो कि
d²r
dt² = -n²r
If r = (cos nt) i + (sin nt) j Then prove that
d²r
dt² = -n²r
(c) यदि r = xi + yj + zk. तो दिखाइये कि
(i) div r = 3
(ii) curl r = 0
If r = xi + yj + zk. Then show that
(i) div r = 3
(ii) curl r = 0