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Submit Papers 📩B.Sc. B.Ed. (Secondary) (RIE)
Examination, 2025
(First Semester)
MATHEMATICS
DC-II
Calculus
(Major)
नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । प्रत्येक प्रश्न के अंक समान हैं ।
Attempt all questions. Each question carries equal marks.
नोट : सभी दोनों खण्डों से प्रश्नों के निर्देशानुसार उत्तर दीजिए । अंकों का विभाजन खण्डों के साथ दिया गया है ।
Attempt questions of all two Sections as directed.
Distribution of marks is given with Sections.
खण्ड 'अ'
Section A
5×8=40
यदि lim x→a f(x) = l ≠ 0 है, तो सिद्ध कीजिए कि ऐसी संख्याएँ k > 0 और δ > 0 इस प्रकार मौजूद हैं कि | f(x) | > k जब भी 0 < | x-a | < δ है, साथ ही lim x→a 1/f(x) = 1/l ।
If lim x→a f(x) = l ≠ 0, then prove there exist number k > 0 and δ > 0 such that |f(x)| > k whenever 0 < |x-a| < δ. Also then lim x→a 1/f(x) = 1/l.
अथवा (Or)
दर्शाइए कि यदि f का अवकलज x = a पर है, तो f, x = a पर निरंतर है, लेकिन विपरीत हमेशा सत्य नहीं होता है ।
Show that if f has a derivative at x = a, then f is continuous at x = a but converse is not always true.
सिद्ध कीजिए कि :
sin ax = ax - a³x³/3! + a⁵x⁵/5! - ... + (-1)ⁿ⁻¹ aⁿ⁻¹xⁿ⁻¹/(n-1)!
sin((n-1)π/2 + ax) = aⁿxⁿ/n! - sin (nπ/2 + ax) ...
Prove that :
sin ax = ax - a³x³/3! + a⁵x⁵/5! - ... + (-1)ⁿ⁻¹ aⁿ⁻¹xⁿ⁻¹/(n-1)!
sin((n-1)π/2 + ax) = aⁿxⁿ/n! - sin (nπ/2 + ax) ...
अथवा (Or)
क्रमिक अवकलन के लिए लीबनिज की प्रमेय को बताइए और सिद्ध कीजिए और इसलिए या अन्यथा x log x का n वाँ अवकलज ज्ञात कीजिए ।
State and prove Leibnitz's theorem for successive differentiation and hence or otherwise. Find nth derivative of x log x.
निश्चित समाकलन ∫₀¹ x(tan⁻¹ x)² dx का मान निकालिए ।
Evaluate the definite integral ∫₀¹ x(tan⁻¹ x)² dx.
अथवा (Or)
फलन f(x) = (x²-8x+14)/(x-3) के आलेख के सभी अनंतस्पर्शी ज्ञात कीजिए ।
Find all asymptotes of the graphs of the function f(x) = (x²-8x+14)/(x-3).
मान लीजिए कि L कार्तिकेयन समीकरण (x-2)/3 = (y+1)/-2 = (z-4)/-4 वाली रेखा है । L के लिए प्राचलिक समीकरण का एक सेट ज्ञात कीजिए ।
Let L be the line with Cartesian equations (x-2)/3 = (y+1)/-2 = (z-4)/-4. Find a set of parametric equations for L.
अथवा (Or)
ध्रुवीय रूप r = 2 cos θ को कार्तिकेय रूप में बदलिए और इस प्रकार वक्र को प्लॉट कीजिए ।
Convert the polar form r = 2 cos θ into Cartesian form and hence plot the curve.
t = 0 से t = 4 तक वक्र C को आर्क की लंबाई ज्ञात कीजिए:
C: x=3t², y=t³
Find the length of arc of the curve C from t = 0 to t = 4:
C: x=3t², y=t³
अथवा (Or)
निश्चित समाकलन का उपयोग करके, वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
x² + y² = a²
Using definite integration, find the area of circle :
x² + y² = a²
खण्ड 'ब'
Section B
5×4=20
नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । प्रत्येक प्रश्न के अंक समान हैं ।
Attempt all questions. Each question carries equal marks.
ज्ञात कीजिए :
lim x→1 (x³-1)/(x-1)
Find :
lim x→1 (x³-1)/(x-1)
cosh x का सूत्र लिखिए और इसका डोमेन (क्षेत्र) बताइए ।
Write the formula for cosh x and give its domain.
मूल बिंदु पर केन्द्रित इकाई वृत्त के लिए प्राचलिक समीकरण लिखिए ।
Write parametric equation for the unit circle centered at origin.
दो बिंदुओं के बीच वक्र y = f(x) की लंबाई का सूत्र लिखिए ।
Write the formula for the length of curve y = f(x) between two points.
x अक्ष के चारों ओर परिभ्रमण करने वाले ठोस पदार्थों के आयतन का सूत्र लिखिए ।
Write the formula for the volume of solids of revolution rotated about x axis.