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RM-97
B. Sc.-B.Ed. (Secondary) (New) (ITEP)
Examination, 2025
(Second Semester)
MATHEMATICS
SEC-I
Analytic Geometry-I
Time : 3 Hours]
[Maximum Marks : 40]
नोट : सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। प्रत्येक प्रश्न से किन्हीं दो भागों का उत्तर दीजिए।
All questions are compulsory. Attempt any two parts from each question.
1.
(अ) समतल `r⃗ ⋅ (î+ĵ+k̂) = 6` और `r⃗ ⋅ (2î+3ĵ+4k̂) = -5` तथा बिंदु (1, 1, 1) के प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(a) Find the equation of the plane passing through the intersection of the plane `r⃗ ⋅ (î+ĵ+k̂) = 6` and `r⃗ ⋅ (2î+3ĵ+4k̂) = -5` and the point (1, 1, 1).
(ब) बिंदु (3, -1, 11) से रेखा `x/2 = (y-2)/3 = (z-3)/4` पर डाले गए लम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(b) Find the equation of the perpendicular from the point (3, -1, 11) to the line `x/2 = (y-2)/3 = (z-3)/4`.
(स) शीर्ष (5, 4, 3) वाले और मार्गांकिक वक्र पर `3x² + 2y² = 6, y+z=0` वाले शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(c) Find also the coordinates of the foot of perpendicular. Hence find the length of perpendicular.
2.
Find the equation of the cone with vertex (5, 4, 3) and with `3x² + 2y² = 6, y+z=0` as the guiding curve.
(अ) एक शंकु की लम्बाई का समीकरण और अक्ष का समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
(a) Derive the equation of length and equation of the axis of a conic.
(ब) शंकु का अनुरेखण कीजिए : `5x² + 4xy + 8y² - 12x - 12y = 0`
(b) Trace the conic : `5x² + 4xy + 8y² - 12x - 12y = 0`
(स) दीर्घवृत्त `x²/a² + y²/b² = 1` पर स्थित बिंदु से होकर जाने वाला संनाभि अतिपरवलय, जिसका उत्केन्द्र कोण `α` है, `x²/cos²α - y²/sin²α = a² - b²` होगा।
(c) Show that the confocal hyperbola through the point on the ellipse `x²/a² + y²/b² = 1` whose eccentric angle is `α` is `x²/cos²α - y²/sin²α = a² - b²`.
3.
(अ) ध्रुवीय निर्देशांक में दी गई `(r₁, θ₁)` और `(r₂, θ₂)` के बीच की दूरी व्युत्पन्न कीजिए।
(a) Derive the distance between `(r₁, θ₁)` and `(r₂, θ₂)` given in polar coordinate.
(ब) सरल रेखा का ध्रुवीय समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
(b) Derive the polar equation of a straight line.
(स) वृत्त की स्पर्श जीवा का समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
(c) Derive the equation of chord of contact to a circle.
4.
(अ) एक शंकु का ध्रुवीय समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
(a) Derive the polar equation of a conic.
(ब) ध्रुवीय रूप में शंकु की नियताओं का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(b) Find the equation of directrices of conic in polar form.
5.
(अ) शांकव : `l/r = 1 + e cos θ` की जीवा का समीकरण ज्ञात कीजिए। जीवा के वाह्य कोणों का ऊर्ध्वाधर कोण `θ₁` और `θ₂` है।
(a) Find the equation of the chord of the conic : `l/r = 1 + e cos θ` the vertical angle of the extremities of the chord are `θ₁` and `θ₂`.
(ब) सिद्ध कीजिए कि किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा तल का समीकरण, किसी बिंदु के लिए स्पर्श तल का समीकरण और किसी भी बिंदु के ध्रुवीय तल का समीकरण समान होते हैं।
(b) Prove that equation to the tangent plane at a point, the equation to the plane of contact for a point, and the equation to the polar plane of any point are same.
(ब) दीर्घवृत्तीय परवलयज और अतिपरवलयिक परवलयज के समीकरण का विश्लेषण दीजिए।
(b) Give an analysis of equation to elliptical paraboloid and hyperbolic paraboloid.
(स) वह शर्त ज्ञात कीजिए जब समतल `lx+my+nz = P` शांकव `ax² + by² + cz² = 1` को स्पर्श करता है।
(c) Find the condition that the plane `lx+my+nz = P` may touch the conicoid `ax² + by² + cz² = 1`.