Advanced Calculus - BU 2024 Question Paper

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AR-38

B.Sc.-B.Ed. (REG/ATKT) Examination, 2024

(Third Semester)

MATHEMATICS

3.1

Advanced Calculus

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : 30

नोट : प्रश्न-पत्र दो खण्डों में विभक्त है। सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।

Question paper is divided into two Sections. All questions are compulsory.

खण्ड 'अ'

Section A

5x4=20

नोट : सभी प्रश्न हल कीजिए। प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का है।

Attempt all questions. Each question carries 4 marks.

कोशी का सीमा संबंधी प्रथम प्रमेय का कथन लिखिए एवं सिद्ध कीजिए ।

State and prove Cauchy's first theorem on limits.

अथवा (Or)

श्रेणी :

`1+3x+5x^2+7x^3+9x^4+ ......`

की अभिसारिता या अपसारिता का परीक्षण कीजिए ।

Test the convergence or divergence of the series :

`1+3x+5x^2+7x^3+9x^4+ ......`

फलन फलन के सांतत्य का परीक्षण x=0 पर कीजिए :

`f(x) = { (1/x sin(1/x), x!=0), (0, x=0) }`

Test the continuity of function defined as follows at x=0:

`f(x) = { (1/x sin(1/x), x!=0), (0, x=0) }`

अथवा (Or)

लैंग्रान्जे मध्यमान प्रमेय का कथन लिखिए एवं सिद्ध कीजिए ।

State and prove Lagrange's mean value theorem.

यदि `x^y y^x z^a = c`, तो सिद्ध कीजिए कि :

`∂^2 z / (∂x∂y) = -(xlog(ex))^(-1)`, जब `x=y=z`.

If `x^y y^x z^a = c`, then show that :

`∂^2 z / (∂x∂y) = -(xlog(ex))^(-1)`, when `x=y=z`.

अथवा (Or)

समघात फलनों के लिए आयलर की प्रमेय लिखिए एवं सिद्ध कीजिए ।

State and prove Euler's theorem on homogeneous functions.

फलन `u = x.y + a^3/x + a^3/y` के उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ मानों की विवेचना कीजिए ।

Discuss the maximum or minimum values of the function `u = x.y + a^3/x + a^3/y`.

अथवा (Or)

प्रतिबंधों `ax^2 + by^2 + cz^2 = 1` तथा `lx + my + nz = 0` के अन्तर्गत `u = x^2 + y^2 + z^2` के उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए, प्राप्त फल को ज्यामितीय व्याख्या भी कीजिए ।

Find the maximum and minimum values of `u = x^2 + y^2 + z^2` subject to the conditions `ax^2 + by^2 + cz^2 = 1` and `lx + my + nz = 0` and interpret the result geometrically.