Multivariate Calculus - BU 2025 Question Paper

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RL-158

B.Sc.-B.Ed. (Secondary) NEW (RIE)
Examination, 2025
(Third Semester)
MATHEMATICS
DC-VII
(Major)
Multivariate Calculus

Time : 3 Hours

[Maximum Marks : 60]

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । गणना के लिए सभी आवश्यक चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाइए

Attempt all questions. Clearly show all necessary steps for Calculation.

खण्ड 'अ'

Section A

(लघु उत्तरीय प्रश्न)

(Short Answer Type Questions)

4×6=24

सीमाएँ और सातत्य को उदाहरण सहित परिभाषित कीजिए ।
Define Limits and continuity with example.

फलन `f = x^2 - y^2 + 2z^2` का दिशात्मक अवकलज ज्ञात कीजिए । बिंदु `P(1, 2, 3)` पर `PQ` की दिशा में, जहाँ `Q(5, 0, 4)` है ।
Find the Directional Derivative of `f = x^2 - y^2 + 2z^2` at point `P(1, 2, 3)` in the direction of `PQ` when `Q(5, 0, 4)`.

`x^3 + y^3 - 3xy` के अधिकतम और न्यूनतम मानों पर चर्चा कीजिए ।
Discuss the maximum and minimum values of `x^3 + y^3 - 3xy`.

टेलर की प्रमेय द्वारा `log x` को `(x-1)` की घात में विस्तारित कीजिए और इसलिए `log (1.1)` का मान ज्ञात कीजिए ।
Expand `log x` in power of `(x-1)` by Taylor's theorem and hence find the value of `log (1.1)`.

खण्ड 'ब'

Section B

(मध्यम उत्तरीय प्रश्न)

(Medium Answer Type Questions)

5×4=20

नोट : किन्हीं चार प्रश्नों के उत्तर दीजिए । सभी प्रश्नों के अंक समान हैं ।

Attempt any four questions. All questions carry equal marks.

यदि `x^y + y^x = c` तो दर्शाइए कि `x = y = z` (Possible typo, assuming `x = y`)
If `x^y + y^x = c` then show that at `x = y = z` (Possible typo, assuming `x = y`)

`∂^2z/∂x∂y = -(x.log_e x)^-1`

यदि `u = log_e ((x^4 + y^4)/(x + y))` दर्शाइए कि `x. (∂u/∂x) + y. (∂u/∂y) = 3.`
If `u = log_e ((x^4 + y^4)/(x + y))`, show that `x. (∂u/∂x) + y. (∂u/∂y) = 3.`

मूल्यांकन कीजिए `∫∫_R xy dxdy` जहाँ `R` वृत्त `x^2 + y^2 = a^2` का चतुर्थांश है और `x ≥ 0`, `y ≥ 0` है ।
Evaluate `∫∫_R xy dxdy` where `R` is the quadrant of circle `x^2 + y^2 = a^2` where `x ≥ 0`, `y ≥ 0`.

सिद्ध कीजिए : `∫_a^b dx ∫_a^x f(x,y)dy = ∫_a^b dy ∫_y^b f(x,y)dx`
Show that : `∫_a^b dx ∫_a^x f(x,y)dy = ∫_a^b dy ∫_y^b f(x,y)dx`

सिद्ध कीजिए कि `∫_0^∞ e^(-x^2) dx = √(π)/2`
Prove that `∫_0^∞ e^(-x^2) dx = √(π)/2`

खण्ड 'स'

Section C

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)

(Long Answer Type Questions)

8×2=16

नोट : किन्हीं दो प्रश्नों के उत्तर दीजिए । सभी प्रश्नों के अंक समान हैं ।

Attempt any two questions. All questions carry equal marks.

समाकलन `∫_0^a ∫_0^x (1/(x^2 + y^2)) dy dx` के क्रम को बदलिए और उसका मान निकालिए ।
Change the order of integration `∫_0^a ∫_0^x (1/(x^2 + y^2)) dy dx` and hence evaluate it.

सिद्ध कीजिए `∇^2f(r) = f''(r) + (2/r)f'(r).`
Prove that `∇^2f(r) = f''(r) + (2/r)f'(r).`

निम्नलिखित सतहों `z = 0, x^2 + y^2 = 1, x + y + z = 3` द्वारा परिबद्ध ठोस का आयतन परिकलित कीजिए ।
Calculate the volume of the solid bounded by the following surface `z = 0, x^2 + y^2 = 1, x + y + z = 3.`

समाकलन `∫ x^m (1-x)^p dx` को बीटा फलन के पदों में अभिव्यक्त कीजिए और इसलिए `∫_0^1 x^5 (1-x)^10 dx` का मान निकालिए ।
Express `∫ x^m (1-x)^p dx` in terms of Beta function and hence evaluate `∫_0^1 x^5 (1-x)^10 dx.`

यदि `u = f (y - z, z - x, x - y)`, तो सिद्ध कीजिए कि : `∂u/∂x + ∂u/∂y + ∂u/∂z = 0.`
If `u = f (y - z, z - x, x - y)`, prove that : `∂u/∂x + ∂u/∂y + ∂u/∂z = 0.`

फलन `f(x, y) = x^3 - 4xy + 2y^2` के अधिकतम या न्यूनतम मान या पल्याण बिंदु पर चर्चा कीजिए ।
Discuss the maximum or minimum values or saddle point of the function `f(x, y) = x^3 - 4xy + 2y^2.`