Partial Differential Equations - BU 2025 Question Paper

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RL-153

B.Sc.-B.Ed. (Secondary) (New) (RIE)

Examination, 2025

(Third Semester)

MATHEMATICS-(DC-VI)

Partial Differential Equations

(Major)

Time : 3 Hours

[Maximum Marks : 60]

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । प्रत्येक प्रश्न से किन्हीं दो भागों के उत्तर दीजिए । सभी प्रश्नों के अंक समान हैं ।

Attempt all questions. Answer any two parts from each question. All questions carry equal marks.

(अ) उपयुक्त उदाहरणों सहित आंशिक अवकल समीकरण को परिभाषित कीजिए । निम्न संबंध से a और b को हटाकर आंशिक अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए :

$z = ax + a^2y + b$

(5) Define partial differential equation with suitable examples. Find the partial differential equation by eliminating a and b from the relation :

$z = ax + a^2y + b$

(ब) लैग्रेंज विधि को परिभाषित कीजिए । निम्न को हल कीजिए :

$x(y^2+z) p - y(x^2+z) q = z(x^2-y^2)$

(5) Define Lagrange's method. Solve:

$x(y^2+z) p - y(x^2+z) q = z(x^2-y^2)$

(स) चारपिट विधि से हल कीजिए :

$px + qy = pq$

Solve by Charpit's method:

$px + qy = pq$

(अ) द्वितीय क्रम के आंशिक अवकल समीकरण को परिभाषित कीजिए । $xps = 1$ को हल कीजिए ।

Define partial differential equation of Second order. Solve $xps = 1$.

(ब) निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरण को वर्गीकृत कीजिए और विहित रूप से समनयन कीजिए :

$\frac{\partial^2z}{\partial x^2} + x^2 \frac{\partial^2z}{\partial y^2} = 0$

(स) हल कीजिए :

Classify the following P.D.E. and reduce to Canonical form :

$\frac{\partial^2z}{\partial x^2} + 4 \frac{\partial^2z}{\partial y^2} = 0$

हल कीजिए :

$(D^2 + DD' + D'-1)z = 0$
$(D^2 - D^2 + D - D')z = 0$

(5) Solve :

$(D^2 + DD' + D'-1)z = 0$
$(D^2 - D^2 + D - D')z = 0$

(अ) सीमा समा समस्या को हल कीजिए :

$\frac{\partial u}{\partial x} + 4\frac{\partial u}{\partial t} = -8t, t > 0, x > 0$

निम्न शर्तों के साथ :

$u = 0, \text{ जब } t = 0, x > 0; u = 2t^2, \text{ जब } x = 0, t > 0$

(4) Solve the boundary value problem :

$\frac{\partial u}{\partial x} + 4\frac{\partial u}{\partial t} = -8t, t > 0, x > 0$

with the conditions :

$u = 0, \text{ when } t = 0, x > 0; u = 2t^2, \text{ when } x = 0, t > 0$

(ब) सेमी-इनफिनिटी सॉलिड में तरंग समीकरण को परिभाषित कीजिए । $x > 0$ पर प्रारम्भिक रूप से तापमान शून्य है । समय $t = 0$ पर, एक स्थिर तापमान $u_0$ को लगाया जाता है और $x = 0$ के फलक पर बनाए रखा जाता है । दर्शाइए कि $t = 1/4$ पर ठोस के किसी भी बिंदु पर तापमान इस प्रकार दिया जाता है :

$u_0 \text{erfc}(x/\sqrt{k})$

Define wave equation. A semi-infinite solid $x > 0$ is initially at temperature zero. At time $t = 0$, a constant temperature $u_0$ is applied and maintained at the face $x = 0$. Show that the temperature at any point of the solid at $t = 1/4$ is given by:

$u_0 \text{erfc}(x/\sqrt{k})$

(स) निम्नलिखित सीमा समस्या हल कीजिए :

$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}, t > 0, x > 0$

$u(x, 0) = A \sin(\omega t), u(0, t) = 0$

$u_t(x, 0) = 0, u_x(0, t) < M$

(4) Solve the following boundary value problem :

$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}, t > 0, x > 0$

$u(x, 0) = A \sin(\omega t), u(0, x) = 0$

$u_t(x, 0) = 0, u_x(0, t) < M$

(अ) $zp + q = 1$ के लिए कोशी समस्या हल कीजिए, जब प्रारंभिक डाटा वक्र है :

$x_0 = \mu, y_0 = \mu/2, 0 \le \mu \le 1$

Solve the Cauchy's problem for $zp + q = 1$, when the initial data curve is :

$x_0 = \mu, y_0 = \mu/2, 0 \le \mu \le 1$

(ब) निम्नलिखित प्रारंभिक कंडीशन के साथ एक अनंत स्ट्रिंग की कोशी समस्या पर विचार कीजिए :

$u_{tt} - c^2u_{xx} = 0, x \in R, t > 0$

$u(x, 0) = f(x), x \in R$

$u_t(x, 0) = g(x), x \in R$

उपर्युक्त कोशी समस्या के लिए d'Alembert समाधान की गणना कीजिए ।

Consider Cauchy problem of an infinit string with the following initial conditions :

$u_{tt} - c^2u_{xx} = 0, x \in R, t > 0$

$u(x, 0) = f(x), x \in R$

$u_t(x, 0) = g(x), x \in R$

Calculate d'Alembert solution for the above Cauchy Problem.

(स) d'Alembert हल सूत्र का उपयोग करके, प्रारंभिक-मान समस्या का हल ज्ञात कीजिए :

$u_{tt} = c^2u_{xx}, x \in R, t > 0$

$u(x, 0) = \sin x, u_t(x, 0) = \cos x$

Using d'Alembert solution formula, find the solution of initial-value problem :

$u_{tt} = c^2u_{xx}, x \in R, t > 0$

$u(x, 0) = \sin x, u_t(x, 0) = \cos x$

(अ) चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग करके एक आयामी ऊष्मा समीकरण को हल कीजिए :

$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$

सभी संभावित मामलों पर अलग-अलग चर्चा कीजिए ।

(5) By using method of separable of variables solve one dimensional heat equation :

$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$

Discuss all possible cases separately.

(ब) दी गई प्रारंभिक स्थिति के लिए निम्नलिखित ऊष्मा समस्या हल कीजिए :

$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$

$u(x, 0) = u_0, u(0, t) = 0, u(l, t) = 0$

Solve the following heat problem for the given initial condition :

$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$

$u(x, 0) = u_0, u(0, t) = 0, u(l, t) = 0$

(स) लंबाई $l$ की एक छड़ में तापमान $u(x, t)$ ज्ञात कीजिए यदि प्रारंभिक तापमान पूरे में $f(x)$ है और यदि छड़ $x = 0$ और $x = l$ पर विद्युत रोधित है ।

Find the temperature $u(x, t)$ in a rod of length $l$ if the initial temperature is $f(x)$ throughout and if the ends $x = 0$ and $x = l$ are insulated.