Mathematics 32 Diferencial Equation - BU 2022 Question Paper

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RA-38

B.Sc.B.Ed. - IIIʳᵈ Semester

Examination, 2021-22

Mathematics (3.2 Diferencial Equation)

Time: 3 Hours

[Maximum Marks: 30]

Note: - Attempt all questions. All questions carry equal mark.

नोट :- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। सभी प्रश्नों के अंक समान हैं।

SECTION - 'A'

खण्ड - 'अ'

Objective Type Questions

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

Choose the correct answer :

सही उत्तर का चयन कीजिए :

(i) Series solution of differential equation \( \frac{dy}{dx} - y = 0 \) is:

अवकलन समीकरण \( \frac{dy}{dx} - y = 0 \) का श्रेणी हल है -

(a) \( a_0 e^x \)

(b) \( a_1 e^x \)

(d) \( a_0 \)

(ii) If \( L \{f(t)\} = F(p) \) then \( L \{f(at)\} = ? \)

यदि \( L \{f(t)\} = F(p) \) तब \( L \{f(at)\} = ? \)

(a) \( \frac{1}{a} F(\frac{p}{a}) \)

(b) \( \frac{1}{a} F(p) \)

(d) \( 0 \)

(iii) Value of \( L^{-1} \{ \frac{1}{P^2+a^2} \} \) is

(a) \( \sin at \)

(b) \( \frac{1}{a} \sin at \)

(d) \( \frac{1}{a} \sinh at \)

(iv) For the partial differential equation \( pz - qz - z^2 + (x + y)^2 \), the Lagrange's subsidiary equations are

आंशिक अवकल समीकरण \( pz - qz - z^2 + (x + y)^2 \) के लिए, लैगेन्ज के सहायक समीकरण हैं :

(a) \( \frac{dx}{z} = \frac{dy}{-z} = \frac{dz}{z^2 + (x+y)^2} \)

(b) \( \frac{dx}{-z} = \frac{dy}{z} = \frac{dz}{z^2 + (x+y)^2} \)

(d) None of these

(v) The C.F. of the equation \( \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \) is

समीकरण \( \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \) का C.F. है

(a) \( \phi(x) \)

(b) \( \phi(y + x) \)

(d) None of these

SECTION - 'B'

खण्ड - 'ब'

Short Answer Type Questions

लघु उत्तरीय प्रश्न

Find the series solution of the following equation

निम्नलिखित का श्रृंखला समाधान ज्ञात कीजिए

\( 2x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + (2x^2 - x) \frac{dy}{dx} + y = 0 \)

अथवा/OR

Express \( J_n(x) \) in terms of \( J_0 \) and \( J_1 \).

\( J_0 \) और \( J_1 \) के वर्ग में \( J_n(x) \) को व्यक्त कीजिए

If \( L \{f(t)\} = \sinh at \), then find \( L \{f(t)\} \)

यदि \( L \{f(t)\} = \sinh at \), तो \( L \{f(t)\} \) का मान क्या है ?

अथवा/OR

Evaluate \( L \{t \sinh at\} \)

\( L \{t \sinh at\} \) मूल्यांकन कीजिए

Find the laplace transform of the following functions

निम्नलिखित फलन का लाप्लास रूपान्तर ज्ञात कीजिए

\( L^{-1} \{ \frac{3p-2}{p^{3/2}} - \frac{7}{3p+2} \} \)

अथवा/OR

Evaluate \( 1 * \sin at \).

\( 1 * \sin at \) का मूल्यांकन कीजिए।

Find a partial differential equation by eliminating arbitrary constants a, b, c from

\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \)

स्वेच्छ स्थिरांक a, b, c को हटाकर \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \) से एक आंशिक अवकलन समीकरण ज्ञात कीजिए

अथवा/OR

Solve \( z = px + qy - 2 \sqrt{pq} \)

हल कीजिए \( z = px + qy - 2 \sqrt{pq} \)

SECTION - 'C'

खण्ड - 'स'

Long Answer Type Questions

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

Solve the differential equation

अंतर समीकरण हल कीजिए

\( s = 2x \div 2y \)

अथवा/OR

Classify \( 4z_x + 4z_{xx} = 4z_y \)

वर्गीकृत कीजिए \( 4z_x + 4z_{xx} = 4z_y \)

Find the extended power series solution of the differential equation

अवकल समीकरण का विस्तारित घात श्रेणी हल ज्ञात कीजिए

Establish the differential formula

अन्तर सूत्र के सिद्ध कीजिए

\( x^n J'_n(x) = x^n J_{n-1}(x) - n x^{n-1} J_n(x) \)

अथवा/OR

Find \( L(\sinh 3t) \)

ज्ञात कीजिए \( L(\sinh 3t) \)

Evaluate \( L^{-1} \{ \frac{\cos 2t - \cos 3t}{t} \} \)

मूल्यांकन कीजिए \( L^{-1} \{ \frac{\cos 2t - \cos 3t}{t} \} \)

अथवा/OR

Evaluate \( L^{-1} \{ \frac{6}{2p-3} - \frac{3p+4}{9p^2-16} + \frac{8-6p}{16p^2-9} \} \)

मूल्यांकन कीजिए \( L^{-1} \{ \frac{6}{2p-3} - \frac{3p+4}{9p^2-16} + \frac{8-6p}{16p^2-9} \} \)

10.

Evaluate \( L^{-1} \{ \frac{p}{(p^2+a^2)^2} \} \) by the convolution theorem.

कन्योल्यूशन प्रमेय द्वारा \( L^{-1} \{ \frac{p}{(p^2+a^2)^2} \} \) को मूल्यांकन कीजिए।

11.

Form a partial differential equation by eliminating the arbitrary constant p,q,r from the equation

\( z = Ae^{px} \cos qx \sin ry \text{ where } p^2 = q^2 + r^2 \)

समीकरण \( z = Ae^{px} \cos qx \sin ry \) से स्वेच्छ स्थिरांक p,q,r को हटाकर एक आंशिक अवकलन समीकरण बनाइये जहाँ \( p^2 = q^2 + r^2 \)

अथवा/OR

Solve \( px + qy = pq \)

हल कीजिए \( px + qy = pq \)

अथवा/OR

Solve \( z - xq = x^2 \)

हल कीजिए \( z - xq = x^2 \)

अथवा/OR

Solve \( \frac{\partial^2z}{\partial x^2} - a^2 \frac{\partial^2z}{\partial y^2} = x^2 \)

हल कीजिए \( \frac{\partial^2z}{\partial x^2} - a^2 \frac{\partial^2z}{\partial y^2} = x^2 \)