Group Theory - BU 2025 Question Paper

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RL-148

B.Sc./B.Ed. (Secondary) (New) (RIE)

Examination, 2025

(Third Semester)

MATHEMATICS

DC-V

Group Theory

(Major)

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : 60

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । प्रत्येक प्रश्न के किन्हीं दो भागों के उत्तर दीजिए । सभी प्रश्नों के अंक समान हैं ।

Attempt all questions. Answer any two parts from each question. All questions carry equal marks.

1. (a)

चक्रीय समूह को परिभाषित कीजिए । दर्शाइए कि गुणनात्मक समूह G = {1, –1, i, –i} चक्रीय समूह है ।

Define cyclic group. Show that the multiplicative group G = {1, –1, i, –i} is cyclic group.

(b)

समूह के केंद्र को परिभाषित कीजिए । सिद्ध कीजिए कि Z(G), G का एक सामान्य उपसमूह है ।

Define center of group. Prove that Z(G) is a normal subgroup of G.

(c)

सिद्ध कीजिए कि (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹ ∀ a, b ∈ G अर्थात्, समूह G के दो तत्वों के गुणनफल का व्युत्क्रम, व्युत्क्रम में लिए गए व्युत्क्रम का गुणनफल होता है ।

Prove that (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹ ∀ a, b ∈ G i.e., the inverse of the product of two elements of a group G is the product of the inverse taken in the reverse order.

2. (a)

सहसमुच्चय को परिभाषित कीजिए । समूह के लिए 'लैंग्रेज प्रमेय' को बताइए और सिद्ध कीजिए ।

Define Coset. State and prove that 'Lagrange's Theorem' for group.

(b)

यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है और a किसी भी पूर्णांक n के सापेक्ष अभाज्य है तो a^φ(n) = 1 (mod n) जहाँ φ यूलर φ-फलन है ।

If n is a positive integer and a is any integer relatively prime to n, then a^φ(n) = 1 (mod n) where φ is the Euler φ-function.

(c)

सिद्ध कीजिए कि यदि p एक अभाज्य संख्या है और a कोई पूर्णांक है, तो :

a^p = a (mod p)

Prove that if p is a prime number and a is any integer, then

a^p = a (mod p)

3. (a)

आंतरिक ऑटोमॉर्फिज्म को परिभाषित कीजिए । यदि G एक समूह है और g को G का एक निश्चित तत्व मान लें । तब Tg(x) = gxg⁻¹ ∀ x ∈ G द्वारा परिभाषित मैपिंग Tg : G → G G का एक ऑटोमॉर्फिज्म है ।

Define Inner Automorphism. If G be a group and let g be a fixed element of G. Then the mapping Tg : G → G defined by Tg(x) = gxg⁻¹ ∀ x ∈ G is an automorphism of G.

(b)

संयुग्मी संबंध को परिभाषित कीजिए । सिद्ध कीजिए कि संयुग्मी G का तुल्यता संबंध है ।

Define Conjugacy Relation. Prove that conjugacy is an equivalence relation of G.

4. (a)

दिखाइए कि a → a⁻¹ समूह G का ऑटोमॉर्फिज्म है यदि और यदि G आबेलीयन है ।

Show that a → a⁻¹ is an automorphism of a group G iff G be abelian.

(b)

क्रमचय को परिभाषित कीजिए । यदि f = [[1, 2, 3], [1, 3, 2]] और g = [[1, 2, 3], [2, 3, 1]] घात 3 के दो क्रमचय हैं तो fg और gf ज्ञात कीजिए ।

Define Permutation. If f = [[1, 2, 3], [1, 3, 2]] and g = [[1, 2, 3], [2, 3, 1]] be two permutation of degree 3 then find out fg and gf.

(c)

P_n प्रतीकों पर सभी क्रमचय का समुच्चय P_n, संक्रिया के रूप में मानचित्रण के समग्र के सम्बन्ध में n! क्रम का एक परिमित समूह है । n ≤ 2 के लिए, यह समूह अबेलीयन है और n > 2 के लिए यह हमेशा नॉन-आबेलीयन होता है ।

The set P_n, of all permutation on n symbols is a finite group of order n! with respect to composite of mapping as the operation. For n ≤ 2, this group is abelian and n > 2 it is always non- abelian.

(d)

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक चक्र को अनंत तरीकों से स्थानान्तरण के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ।

Prove that every cycle can be expressed as a product of transpositions in infinitely many ways.

5. (a)

आबेलियन समूह के लिए कौशी प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Cauchy theorem for abelian group.

(b)

यदि G एक परिमित समूह है और p को अभाज्य मान लें । यदि p^m/o(G) और p^m+1, o(G) का भाजक है, तो G का उपसमूह p^m क्रम है ।

If G be a finite group and let p be a prime. If p^m|o(G) and p^m+1 is a divisor of o(G) then G has a subgroup of order p^m.

(c)

यदि H, G का p-सिलो उपसमूह है और x ∈ G है, तो x⁻¹Hx भी G का p-सिलो उपसमूह है ।

If H is a p-Sylow subgroup of G and x ∈ G then x⁻¹Hx is also a p-Sylow subgroup of G.