Mathematics 32 Differencial Equation - BU 2022 Question Paper

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RC-41
B.Sc.B.Ed.-III^rd Semester
Examination, 2022-23
Mathematics (3.2 Differential Equation)

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : 30

Note :-Attempt all questions. All questions carry equal mark.
नोट :- सभी प्रश्न अनिवार्य है। सभी प्रश्नों के अंक समान है।

SECTION - 'A'

खण्ड - 'अ'
Objective Type Questions
वस्तुनिष्ठ प्रश्न

1×5=5

Choose the correct answer :
सही उत्तर का चयन कीजिए :

(i) Series solution of differential equation

$\frac{dy}{dx} = xy$

is:
अवकलन समीकरण

$\frac{dy}{dx} = xy$

का श्रेगी हल है -

(a) $a_e^x$
(b) $a_e^{-x}$
(c) $a_e^{x^2}$
(d) $a_0$

(ii) If $L\{f(t)\} = F(p)$ the value of $\frac{d}{dp} F(p)$ is यदि $L\{f(t)\} = F(p)$ तब $\frac{d}{dp} F(p)$ का मान है-

(a) $+L\{tf(t)\}$
(b) $-L\{tf(t)\}$
(c) $0$
(d) $!$

(iii) The value of $e^t * t$ is
$e^t * t$ का मान है :

(a) sin t
(b) cos t
(c) sin t
(d) cos t

(iv) Auxiliary equation of $P + 3q = 5z + \tan(y-3x)$ is
समीकरण $P + 3q = 5z + \tan(y-3x)$ का सहायक समीकरण है :

(a) $\frac{dx}{1-5z} = \frac{dy}{3} = \frac{dz}{\tan(y-3x)}$
(b) $\frac{dx}{1} = \frac{dy}{3-5x} = \frac{dz}{\tan(y-3x)}$
(c) $\frac{dx}{1} = \frac{dy}{3} = \frac{dz}{5z+\tan(y-3x)}$
(d) None of these (इनमें से कोई नहीं)

(v) Complementary function of $(D^2+2DD'+D'^2) Z = 2 \cos y - x \sin y$ is
समीकरण $(D^2+2DD'+D'^2) Z = 2 \cos y - x \sin y$ का पूरक फलन है-

(a) $\phi_1(y-x) + x \phi_2(y-x)$
(b) $\phi_1(y+x) + x \phi_2(y+x)$
(c) $\phi_1(y+x) + x \phi_2(y+x)$
(d) None of these (इनमें से कोई नहीं)

SECTION - 'B'

खण्ड - 'ब'
Short Answer Type Questions

2×5=10

लघु उत्तरीय प्रश्न

Find the series solution of the following equation.
निम्नलिखित समीकरण का श्रेगी विधि से हल ज्ञात कीजिए।

$\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$

अथवा/OR

Prove that, सिद्ध कीजिए :

$J_{3/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \left( \frac{\sin x}{x} - \cos x \right)$

Find the value of $L\{3t^3 + 4t^2 - 5t + 7\}$
$L\{3t^3 + 4t^2 - 5t + 7\}$ का मान ज्ञात कीजिए

अथवा/OR

Find the value of $L^{-1}\{t \sin at\}$
$L^{-1}\{t \sin at\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Find the value of $L^{-1} \left\{ \frac{1}{p^2} + \frac{3p}{p^2+16} + \frac{5}{p^2+4} \right\}$
$L^{-1} \left\{ \frac{1}{p^2} + \frac{3p}{p^2+16} + \frac{5}{p^2+4} \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

अथवा/OR

Find the value of $L^{-1} \left\{ \frac{1}{\sqrt{p+a}} \right\}$
$L^{-1} \left\{ \frac{1}{\sqrt{p+a}} \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Form a partial differential equation by eliminating arbitrary constant a and b from the equation
$z = (x^2+a)(y^2+b)$
समीकरण $z = (x^2+a)(y^2+b)$ से $a$ और $b$ का विलोपन करके आंशिक अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

अथवा/OR

Eliminate the arbitrary functions f and F from the following relation $z = f(x+iy) + F(x-iy)$
समीकरण $z = f(x+iy) + F(x-iy)$ से फलनों $f$ तथा $F$ का विलोपन करके आंशिक अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

SECTION - 'C'

खण्ड - 'स'
Long Answer Type Questions

3×5=15

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

Solve: $Xq = x^2$
हल कीजिए $Xq = x^2$

अथवा/OR

Solve $25r - 40s + 16t = 0$
हल कीजिए $25r - 40s + 16t = 0$

Prove that $n P_n = x P_n' + P_{n-1}$
हल कीजिए $n P_n = x P_n' + P_{n-1}$

अथवा/OR

Show that the functions $f_1(x) = 1, f_2(x) = x$ are orthogonal on the interval $(-1, 1)$ and determine the constant A and B so that $f_3(x) = 1 + Ax + Bx^2$ is orthogonal to $f_1$ and $f_2$ on the interval.
दर्शाइए कि फलन $f_1(x) = 1, f_2(x) = x$ अन्तराल $(-1, 1)$ में लाम्बिक है और अचर $A$ और $B$ का मान ज्ञात कीजिए जिससे कि फलन $f_3(x) = 1 + Ax + Bx^2$ अन्तराल में $f_1$ तथा $f_2$ के लाम्बिक है।

Find the Laplace transformation.
लाप्लास रूपान्तरण ज्ञात करो।

$e^{3t} \sin(2t) - 5 \cos(2t)$

अथवा/OR

Find $L^{-1}\left\{\frac{2(1-\cosh 2t)}{t}\right\}$
$L^{-1}\left\{\frac{2(1-\cosh 2t)}{t}\right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Prove that $L^{-1}\left\{\frac{1}{p} \left(\frac{1}{p} - \cos t\right)\right\} = 1 - \frac{t^2}{(L^2)} + \frac{t^4}{(L^4)} - \frac{t^6}{(L^6)} + ...$ (Interpreting (L^2) as 2!, (L^4) as 4!, etc. from context)
सिद्ध कीजिए कि https://www.onlinebu.com

$L^{-1}\left\{\frac{1}{p} \left(\frac{1}{p} - \cos t\right)\right\} = 1 - \frac{t^2}{(2!)} + \frac{t^4}{(4!)} - \frac{t^6}{(6!)} + ...$

अथवा/OR

Find $L^{-1}\left\{\frac{5p^2 - 15p - 1}{(p+1)(p-2)^3}\right\}$

10.

Solve the equation:
समीकरण को हल कीजिए :

$z(x+y)p + z(x-y)q = x^2+y^2$

अथवा/OR

Solve $2xz - px^2 - 2qxy + pq = 0$
हल कीजिए $2xz - px^2 - 2qxy + pq = 0$

11.

Classify the equation:

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$

समीकरण

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$

को वर्गीकृत कीजिए।

अथवा/OR

Solve हल कीजिए

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x-y$