Consider the sequence ${[S_n]}_{n=1}^\infty$ defined as follows

show that is convergent sequence.

अनुक्रम ${[S_n]}_{n=1}^\infty$ पर विचार करें जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है

Prove that a sequence converges iff each of it subsequence converges.

सिद्ध कीजिए कि एक अनुक्रम अभिसरण करता है, यदि इसके प्रत्येक क्रम में अभिसरण होता है।

Let $f:D \rightarrow R$ with $x_0$ an limit point of $D$. Prove that $f$ has a limit at $x_0$ iff for each sequence $(x_n)_{n=1}^\infty$ converging to $x_0$ with $x_n \in D$ and $x_n \neq x_0$ for all $n$, the sequence ${[f(x_n)]}_{n=1}^\infty$ converges.

मान लीजिए $f:D \rightarrow R$, $x_0$ के साथ $D$ के सीमा बिन्दु पर है। सिद्ध कीजिए कि $f$ की सीमा $x_0$ पर है, यदि प्रत्येक अनुक्रम $(x_n)_{n=1}^\infty$ के लिए जो $x_0$ की ओर अभिसरण करता है, जहाँ सभी $n$ के लिए $x_n \in D$ और $x_n \neq x_0$ है, अनुक्रम ${[f(x_n)]}_{n=1}^\infty$ अभिसरण करता है।

If $u = \frac{x+y}{x-y}$ and $v = \frac{xy}{(x-y)^2}$ find $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$. Are u and v functionally related? If so find the relation.

यदि $u = \frac{x+y}{x-y}$ और $v = \frac{xy}{(x-y)^2}$ निकालिए क्या u और v कार्यात्मक रूप से सम्बन्धित हैं? यदि है तो सम्बन्ध बताइये।

Examine the function $f(x,y) = x^3+y^3-63(x+y)+12xy$ for maximum and minimum value.

फलन की जाँच कीजिए $f(x,y) = x^3+y^3-63(x+y)+12xy$ अधिकतम और न्यूनतम महत्व के लिए

Use Lagrange method of undetermined multipliers to find the point upon the plane $ax+by+cz=p$ at which the function $f=x^2+y^2+z^2$ has a minimum value and find the minimum $f$.

अनिर्धारित गुणकों की लेग्रेंज विधि का उपयोग करके समतल $ax+by+cz=p$ पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस पर $f = x^2+y^2+z^2$ का मान न्यूनतम है और $f$ का न्यूनतम मान निकालिए।

Define $f:R \rightarrow R$ as follows. $f(x)=8x$ if $x$ is a rational number $2x^2+8$ if $x$ is an irrational number. Use sequence to guess at which point f has a limit, then use $\epsilon-\delta$ definition to justify conclusion.

$f:R \rightarrow R$ अनुस्मरण के रूप में $f(x)=8x$ यदि $x$ एक प्रमेय संख्या है। अनुक्रम का उपयोग करके अनुमान लगाएँ कि किस बिन्दु पर $f$ की सीमा है? तब $\epsilon-\delta$ परिभाषा निष्कर्ष सिद्ध कीजिए।

Expand $e^x \sin y$ in power of $x$ and $y$, $x=0, y=0$ as for as term of third degree.

x और y की घात में $e^x \sin y$ को विस्तारित कीजिए, जैसा कि $x=0$, $y=0$ तृतीय अंश का पद है।

Evaluate $\iint_S \sqrt{xy-y^2} \ dx \ dy$ where S is a triangle with vertices $(0,0), (10,1)$ and $(1,1)$.

$\iint_S \sqrt{xy-y^2} \ dx \ dy$ को मूल्यांकित कीजिए जहाँ S एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $(0,0), (10,1)$ और $(1,1)$ है।

Using Beta and Gamma function, evaluate $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x^3}}$.

बीटा और गामा फलन का प्रयोग करके $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x^3}}$ का मूल्यांकन कीजिए।

Prove that monotonic sequence if bounded is convergent.

सिद्ध कीजिए कि यदि मोनोटोनिक अनुक्रम परिबद्ध है तो अभिसारी है।

State and prove Darboux intermediate value theorem for derivative.

डॉर्बॉक्स का मध्यवर्ती मान प्रमेय सिद्ध कीजिए।

Give physical interpretation of partial derivative.

आंशिक व्युत्पत्ति की भौतिक व्याख्या कीजिए।

Define saddle point for function of several variable.

कई चरों के फलन के लिए लेडत् बिन्दु को परिभाषित कीजिए।

Define Beta and Gamma function.

बीटा और गामा फंक्शन परिभाषित कीजिए।