Advance Calculus - BU 2022 Question Paper

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RC-40

B.Sc.B.Ed III^rd Semester

Examination, 2022-23

Mathematics

3.1 Advance Calculus

Time : 3.Hours]

[Maximum Marks : 30

Note :- All question are compulsory. Each question in section A carries 4 marks and each question in section B carries 2 marks. There are internal choice within each question in section A

नोट :- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। खण्ड- A में प्रत्येक प्रश्न में 4 अंक है और खण्ड- B में प्रत्येक प्रश्न में 2 अंक है। खण्ड- A में प्रत्येक प्रश्न में आंतरिक विकल्प है।

1. Prove that necessary and sufficient condition for convergence of a sequence <S_n> is that <S_n> is a cauchy sequence.

सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम <S_n> के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि <S_n> एक कौशी अनुक्रम है।

If <S_n> be a sequence of positive real numbers such that

यदि <S_n> धनात्मक वास्तविक संख्याओं का ऐसा क्रम हो कि

S_n = 1/2 (S_{n-1} + S_{n-2}), ∀n > 2

then show that <S_n> converges also find lim S_n.

फिर दिखाएँ कि <S_n> अभिसरण भी lim S_n पाएँ है

2. Prove that if a function f is derivable on a closed inter val [a, b] and f'(a), f'(b) are of opposite signs then there exists at least one point C between a and b such that f'(c) = 0

सिद्ध कीजिए कि यदि कोई फलन f संवृत अंतराल [a, b] और f'(a), f'(b) पर व्युत्पन्न है, तो a और b के बीच कम से कम एक बिंदु C का अस्तित्व होता है, जिससे कि f'(c) = 0

Examine the function f(x) = (x – 3)⁴ (x + 1)⁴ for extreme values.

चरम मानों के लिए फलन f(x) = (x – 3)⁴ (x + 1)⁴ का परीक्षण कीजिए।

3. Discuss the continuity at (x, y) = (0,0) for the following function.

निम्नलिखित फलन के लिए (x, y) = (0, 0) पर निरंतरता पर चर्चा करें

f:R² → R

f(x, y) = { (x³ - y³)/(x² + y²), (x, y) ≠ (0,0) }

f(x, y) = { 0, (x, y) = (0,0) }

Using the concept of Jacobians show that the functions

जेकोबियन की अवधारणा का उपयोग करना दर्शाता है कि कार्य

u = x + y - z

v = x - y + z

w = x² + y² + z² – 2yz

are not independent of one another.

एक दूसरे से स्वतंत्र नहीं है।

4. Find the maximum and minimun values of x² + y² + z² subject to the condition x²/4 + y²/5 + z²/25 = 1 and z = x + y.

के न्युनतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

Prove that the volume of the greatest rectangular parallelopiped that can be inscribed in the ellipsoid

सिद्ध कीजिए कि दीर्घवृत्त्तम में अंकित किए जा सकने वाले सबसे बड़े आयताकार समांतर चतुर्भुर्ज का आयतन

x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 is 8abc / (3√3).

5. Evaluate the following double integral

निम्नलिखित दोहरे समाकल का मूल्याँकन कीजिए

(a) ∫₀ᵃ ∫₀ᵇ (x² + y²) dx.dy

(b) ∫₀¹ ∫ₓ²ˣ dx.dy / (x² + y²)

Evaluate the following integral

निम्नलिखित अभिन्न का मूल्याँकन करें

(a) ∫₀¹ x³ (1+x⁵) / (1+x⁴)¹⁹ dx

(b) ∫₀¹ x⁴ (1+x⁵) / (1+x⁴)¹⁹ dx

Section - B/खण्ड- B

6. Show that the series 1 + 1/2! + 1/3! + ... is convergent.

दर्शाइए कि श्रेणी 1 + 1/2! + 1/3! + ... अभिसारी है।

7. Using sequential defination of continuity discuss continuity at each point of R for the following function

निरंतरता की अनुक्रमिक परिभाषा का उपयोग करते हुए निम्नलिखित कार्य के लिए R के प्रत्येक बिंदु पर निरंतरता पर चर्चा करें

f:R → R

f(x) = { 1, x ∈ Q }

f(x) = { 2, x ∈ Qᶜ }

Where Q is set of all rational numbers

जहाँ Q सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय है

Qᶜ is set of all irrational numbers

Qᶜ सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है

8. State lagrange mean value theorem and give its geometric interpretation.

लैंग्रेज माध्य मान प्रमेय का उल्लेख कीजिए तथा इसकी ज्यामितीय व्याख्या कीजिए।

9. Define saddle points of functions of two variables.

दो चरों के कार्यों के काठी बिंदुओं को परिभाषित करें।

10. Define Beta & Gamma function.

बीटा और गामा प्रकार्य को परिभाषित कीजिए।