Mathematics 31 Advanced Calculus - BU 2023 Question Paper

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RG-40
B.Sc.B.Ed III^rd Semester
Examination, 2023-24
Mathematics
(3.1 Advanced Calculus)

Time : 3 Hours

[Maximum Marks : 30]

नोट :- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
Note :- Attempt all the questions.

1. (a) सिद्ध कीजिए :

Prove that :
सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक कौशी अनुक्रम परिबद्ध होता है।
Prove that every cauchy's sequence is bounded.

(b) सिद्ध कीजिए कि एकान्तर हरात्मक श्रेणी

Show that the alternating harmonic series

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ........ + (-1)^n-1/n अभिसारी है।

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ........ + (-1)^n-1/n is convergent.

निम्नलिखित श्रेणियों के अभिसरण का परीक्षण कीजिए।
Test for convergence of the following series.

1/(√2 - 1) - 1/(√3 - 1) + 1/(√4 - 1) - 1/(√5 - 1) + .......

2. (a) निम्न फलन की संतत्य की जाँच मूल बिन्दु पर कीजिए।

Test the continuity of the function.

f(x) =
{ x e^1/x / (1 + e^1/x) if (यदि) x ≠ 0
{ 0 if (यदि) x = 0

दर्शाइये कि फलन
Show that the following function is continuous and differentiable at x=0, f(x) =

f(x) =
{ x² sin(1/x) if (यदि) x ≠ 0
{ 0 if (यदि) x = 0

(b) अवकलनीयता का श्रृंखला नियम लिखिए एवं सिद्ध कीजिए।

State and prove chain rule of differentiability.

डार्बू का प्रमेय लिखिए एवं सिद्ध कीजिए।
State and prove Darboux's Theorem.

3. (a) यूलर प्रमेय का कथन लिखिए एवं सिद्ध कीजिए।

State and prove Euler's Theorem.

निम्न फलन का (0, 0) पर सन्ततता का परीक्षण कीजिए।
Test the continuity of following function at (0, 0).

f(x, y) =
{ x sin(1/x) if (यदि) x ≠ 0
{ 0 if (यदि) x = 0

(b) फलन f(x, y) = x² + xy + y² का (x-2) एवं (x-3) के घातों में प्रसार कीजिए।

Expand the function f(x,y) = x² + xy + y² in the power of (x-2) and (x-3).

यदि x²y²z² = c, तो सिद्ध कीजिए कि
If x²y²z² = c, then show that

&partial;²z / &partial;x&partial;y = -(x log ex)^-1
when x = y = z

4. (a) फलन u = x²y² (1 - x - y) के उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ का मान ज्ञात कीजिए।

Find the maximum and minimum value of function

u = x²y² (1 - x - y).

निम्नलिखित को उदाहरण सहित परिभाषित कीजिए।
Define the following with example.

निम्निष्ठ एवं उच्चिष्ठ
Minima and Maxima
सैडल बिन्दु
Saddle point

(b) u = sin x sin y sin (x + y) के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ की विवेचना कीजिए।

Find the maxima and minima of function u = sin x sin y sin (x + y).

लैग्रेंज गुणक विधि को समझाइए।
Explain the Lagrange Multiplier Method.

5. (a) सिद्ध कीजिए:

Prove that :

β(m, n) = Γ(m)Γ(n) / Γ(m+n), (m, n > 0)

निम्न समाकलन का क्रम बदलिये:
Change the order of the following integration :

∫₀¹ ∫₀^f(x) f(x, y) dx dy

(b) मूल्यांकन कीजिए:

Evaluate :

∫₀¹ ∫₀^√(1+x²) dx dy / (1 + x² + y²)

मूल्यांकन कीजिए:
Evaluate :

∫₀¹ ∫₀^x ∫₀^y e^x (y + 2z) dx dy dz