Mechanics

(अ) बलों की एक प्रणाली के कार्यों के तहत एक कण के
संतुलन की आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि किन्हीं
तीन परस्पर लम्बवत दिशाओं के साथ बलों के स्थिर
भागों के बीजगणितीय योग अलग-अलग गायब हो जाते
हैं । सिद्ध कीजिए ।
The necessary and sufficient condition of equilibrium of a particle under the action of a system of forces are that the algebraic sums of the resolved parts of the forces along any three mutually perpendicular directions vanish separately. Prove.

(ब) निम्नलिखित में से किन्हीं दो पर संक्षिप्त टिप्पणियाँ
लिखिए :

1. आभासी कार्य
2. एक ठोस पिण्ड का विस्थापन
3. आभासी कार्य का सिद्धांत ।

Write short notes on any two of the following :

1. Virtual work
2. Displacement of a rigid body
3. The principle of virtual work.

(स) चार बराबर भारी समान छड़ें स्वतंत्र रूप से संयुक्त हैं
ताकि एक समचतुर्भुज बन जाए जो एक कोणीय बिंदु
द्वारा स्वतंत्र रूप से निलंबित हो और दो ऊपरी छड़ों
के मध्य बिंदु को एक हल्की छड़ से जोड़ा जाता है
ताकि समचतुर्भुज गिर न सके ।
सिद्ध कीजिए कि α इस हल्की छड़ का प्रमोद
4 W tan α है, जहाँ W प्रत्येक छड़ का भार है और
2α निलंबन के बिंदु पर समचतुर्भुज का कोण है ।
Four equal heavy uniform rods are freely jointed
so as to form a rhombus which is freely
suspended by one angular point and the middle
point of the two upper rods are connected by a
light rod so that the rhombus cannot collapse.
Prove that the thrust of this light rod is 4 W
tan α, where W is the weight of each rod and
2α is the angle of the rhombus at the point of
suspension.

(अ) एक समतल वक्र में गतिमान कण का रेडियल और
अनुप्रस्थ वेग ज्ञात कीजिए ।
Find the radial and transverse velocity of a
particle moving in a plane curve.

(ब) कोणीय त्वरण को परिभाषित कीजिए । यदि किसी कण
के रेडियल और अनुप्रस्थ वेग हमेशा एक-दूसरे के
समानुपाती होते हैं, तो दिखाइए कि पथ एक समकोणिक
सर्पिल है ।
Define Angular Acceleration. If the radial and
transverse velocities of a particles are always
proportional to each other, show that the path is
an equiangular spiral.

(स) समान बल निर्देशांक अक्षों और सरल रेखा
के अनुदिश कार्य करते हैं ।
प्रणाली के केंद्रीय अक्षों के समीकरण ज्ञात कीजिए ।
Equal forces act along the coordinate axes and
the straight line Find the
equation of the central axis of system.

(अ) सरल आवर्त गति को परिभाषित कीजिए । एक कण
एक सीधी रेखा में गति करता है और मूल बिंदु से
x दूरी पर इसका वेग k[a^2-x^2]
है, जहाँ a और
k स्थिरांक हैं । सिद्ध कीजिए कि गति सरल आवर्त
है और गति का आयाम और आवर्तकाल ज्ञात
कीजिए ।
Define Simple Harmonic Motion. A particle
move in a straight line and its velocity at a
distance x from the origin is k[a^2-x^2].
where a and k are constants. Prove that the
motion is simple harmonic and find the
amplitude and the periodic time of the motion.

(ब) 2l फ़ोट लम्बाई को एक रस्सी समान स्तर पर दो
बिंदुओं के बीच लटकी हुई है और रस्सी का सबसे
निचला सिरा निलंबन बिंदु से b फ़ोट नीचे है । दिखाइए
कि तनाव का क्षैतिज घटक W(l^2-b^2)/2b
है, W
रस्सी का भार उसकी लम्बाई के प्रति फ़ोट है ।
A rope of length 2l feet is suspended between
two points at the same level and the lowest
point of the rope is b feet below the point of
suspension. Show that the horizontal component
of the tension is W(l^2-b^2)/2b, W being the
weight of the rope per feet of its length.

(स) कैटनरी को परिभाषित कीजिए । एक बॉक्स पतंग h
ऊँचाई पर लम्बाई l के तार तथा जमीन पर कैटनरी के
शीर्ष के साथ उड़ रही है । दिखाइए कि पतंग पर तार
का जमीन की ओर ढाल 2tan^{-1}(h/l)
है और वहाँ
और जमीन पर इसका तनाव W(l^2+h^2)/2h
और
Define Catenary. A box kite is flying at a height
h with a length l of wire point out and with
the vertex of the catenary on the ground. Show that
at the kite the inclination of the wire to ground
is 2 tan^{-1} (h/l) and that its tension there and at
the ground are and where
W is the weight of the rope per unit length.

(अ) एक पिंड दूसरे स्थिर पिंड पर साम्यावस्था में विश्राम करता
है, सम्पर्क में दो पिंडों के भागों की वक्रता त्रिज्या क्रमशः :
P1 और P2 है । पहले पिंड का गुरुत्वाकर्षण का केंद्र संपर्क
बिंदु से h ऊँचाई पर है और सामान्य अभिलंब ऊर्ध्वाधर के
साथ α कोण बनाता है, यह सिद्ध करना आवश्यक है कि
साम्यावस्था h < P1P2 / (P1+P2) cosα
के अनुसार स्थिर
या अस्थिर है ।
A body rest in equilibrium upon another fixed
body, the portions of the two bodies in contact
have radius of curvature P1 and P2 respectively.
The centre of gravity of the first body is at a
height h above the point of contact and the
common normal makes an angle α with the
vertical, it is required to prove that the
equilibrium is stable or unstable according as

(ब) एक भारी एकसमान छड़ एक छोर पर एक चिकनी
ऊर्ध्वाधर दीवार के विपरीत टिकी हुई है और इसकी
लम्बाई में एक बिंदु एक चिकनी खूंटी पर टिका हुआ
है । साम्य की स्थिति ज्ञात कीजिए और दिखाइए कि
यह अस्थिर है ।
A heavy uniform rod rests with one end against
a smooth vertical wall and with a point in its
length resting on a smooth peg. Find the position
of equilibrium and show that it is unstable.

(अ) दो बल P और Q सीधी रेखाओं के अनुदिश कार्य करते
हैं जिनके समीकरण क्रमशः: y = x tan α, z = c और
y = -x tan α, z = -c है । दर्शाइए कि उनके केंद्रीय
अक्ष सीधी रेखा पर स्थित है ।
Two forces P and Q act along the straight lines
whose equations are y = x tan α, z = c and
y = -x tan α, z = -c respectively. Show that
their central axis lies on a straight line

(ब) एक कण को वेग u के साथ एक चिकने क्षैतिज तल
पर प्रक्षेपित किया जाता है, यह एक ऐसे माध्यम में
जिसका प्रति इकाई द्रव्यमान प्रतिरोध K (वेग) है ।
प्रतिरोधी माध्यम नहीं होता और V टर्मिनल वेग है ।
दिखाइए कि : A particle fall from rest under gravity a distance
x in a medium whose resistance varies as the
square of the velocity. If v be velocity actually
by it v_0 the velocity it would have acquired, had
there no resisting medium and V the terminal
velocity. Show that :

(स) एक कण को वेग u के साथ एक चिकने क्षैतिज तल
पर प्रक्षेपित किया जाता है, यह एक ऐसे माध्यम में
जिसका प्रति इकाई द्रव्यमान प्रतिरोध K (वेग) है ।
दिखाइए कि एक समय t के बाद वेग और उस समय
में दूरी s, और द्वारा
दी गई है ।
A particle is projected with velocity u along a
smooth horizontal plan is a medium whose
resistance per unit mass is K (velocity).
Show that
that the velocity after a time t and the distance
s in that time are given by and