Elements Of Groups And Rings

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RH-40

B.Sc.-B.Ed. Examination, 2024

(Fourth Semester)

MATHEMATICS

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : 30

खण्ड 'अ'

Section A

(वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

(Objective Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

Attempt all questions.

1x5=5

सही उत्तर का चयन कीजिए :

Choose the correct answer :

(i) यदि H एक उपसमूह है समूह G का, तो गलत कथन कौनसा है ?

If H is a subgroup of a group G, then which is the false statement ?

(अ) H^-1 = H

(ब) HH = H

(स) H ⊂ HH

(द) H^-1 ⊂ H

(ii) प्रत्येक समूह G का प्रथमान्य उपसमूह है :

Every normal subgroup of a group G are :

(अ) {e} और G

(ब) {e}

(स) G

(द) कोई नहीं

(iii) Normal subgroups of every group G are :

(a) {e} and G

(b) Only {e}

(d) None of the above

(iii) यदि G समूह के H और K परमित उपसमूह हैं, तो :

If H and K are finite subgroups of a group G, then :

(अ) O(HK) = O(H)/O(K)

(ब) O(HK) = O(H)O(K)/O(H ∩ K)

(स) O(HK) ≤ O(H)O(K)

(द) O(HK) ≥ O(H)O(K)/O(H ∩ K)

(iv) यदि A = (^{1 2 3}_{2 3 1}) और B = (^{1 2 3}_{3 1 2}) तब :

then :

(अ) AB = A

(ब) AB = B

(स) AB = BA

(द) AB ≠ BA

(iv) If A = (^{1 2 3}_{2 3 1}) and B = (^{1 2 3}_{3 1 2}) then :

(a) AB = A

(b) AB = B

(d) AB ≠ BA

खण्ड 'ब'

Section B

(लघु उत्तरीय प्रश्न)

(Short Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

Attempt all questions.

5x2=10

निम्नलिखित में से कौनसा वलय एक पूर्णांकीय प्रांत नहीं है ?

Which of the following rings is not an integral domain ?

(अ) (I, +, .)

(ब) (Q, +, .)

(स) (R, +, .)

(द) (N, +, .)

अथवा (Or)

प्रत्येक चक्रीय समूह एक आबेली समूह होता है ।

Every cyclic group is an abelian group.

यदि H, G का कोई उपसमूह है और h ∈ H, तो Hh = H = hH ।

If H is any subgroup of G and h ∈ H, then Hh = H = hH.

अथवा (Or)

एक समूह G में सर्वांगसमता का सम्बन्ध a ≡ b(mod H) ⇔ ab^-1 ∈ H द्वारा परिभाषित है । एक तुल्यता सम्बन्ध है ।

The relation of congruency in a group G, defined by a ≡ b(mod H) ⇔ ab^-1 ∈ H is an equivalence relation.

समूह की समाकारिता को बताइये ।

Explain homomorphism of group.

अथवा (Or)

माना H, G का एक उपसमूह है । तो दिखाइए कि :

xH = Hx ∀ x ∈ G ∀ x^-1 Hx ⊂ H ∀ x ∈ G.

Let H be a subgroup of G, then show that :

xH = Hx ∀ x ∈ G ∀ x^-1 Hx ⊂ H ∀ x ∈ G.

खण्ड 'स'

Section C

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)

(Long Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

Attempt all questions.

5x3=15

सम और विषम क्रमचय को परिभाषित कीजिए ।

Define the even and odd permutations.

अथवा (Or)

क्रमचय का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए ।

Find the inverse of the permutation (^{1 2 3 4}_{1 3 4 2}).

वलय के प्रकार लिखिए ।

Show that the types of Rings.

अथवा (Or)

एक वलय (R, +, .) की उपवलय S, यदि और केवल यदि :

A subring S of a ring (R, +, .) iff :

(i) a ∈ S, b ∈ S ⇒ a - b ∈ S ∀ a, b ∈ S

(ii) a ∈ S, b ∈ S ⇒ a.b ∈ S ∀ a, b ∈ S.

दिखाइए कि इकाई के चतुर्थ मूल का समुच्चय {1, -1, i, -i} गुणन के सापेक्ष एक आबेली समूह है ।

Show that the set of fourth roots of unity {1, -1, i, -i} form an abelian group with respect to multiplication.

अथवा (Or)

समूह {a, a², a³, a⁴ = e} के जनक ज्ञात कीजिए ।

Find the generators of the group {a, a², a³, a⁴ = e}.

उपसमूह में कोई दो वाम (दक्षिण) सहसमुच्चय या तो संपाती है या असंयुक् है ।

Any two right (left) cosets of a subgroup are either disjoint or identical.

अथवा (Or)

लग्रांजे प्रमेय का कथन लिखकर सिद्ध कीजिए ।

State and prove Lagrange's theorem.

समाकारिता के गुणों को दिखाइए ।

Show that properties of Homomorphism.

अथवा (Or)

यदि N, समूह G का प्रसामान्य उपसमूह है, तो सहसमुच्चयों का समुच्चय G/N गुणन के अधीन समूह है ।

If N is a normal subgroup of a group G, then G/N is a group with respect to multiplication of cosets.

10.

केले प्रमेय का कथन लिखकर सिद्ध कीजिए ।

State and prove Cayley's theorem.

अथवा (Or)

यदि A = (^{1 2 3}_{2 3 1}) और B = (^{1 2 3}_{3 1 2}) तो AB, BA और AB^-1 ज्ञात कीजिए ।

If A = (^{1 2 3}_{2 3 1}) and B = (^{1 2 3}_{3 1 2}) then find AB, BA and AB^-1.

11.

क्षेत्र को उदाहरण सहित परिभाषित कीजिए ।

Define the field with example.

अथवा (Or)

प्रत्येक परमित पूर्णांकीय प्रान्त एक क्षेत्र होता है ।

Every finite integral domain is a field.