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RM-229

B.Sc.-B.Ed. (Secondary) (New) (ITEP)

Examination, 2025

(Fourth Semester)

MATHEMATICS

DC-IX (Major)

Complex Analysis

Time : 3 Hours [Maximum Marks : 60]

नोट : सभी प्रश्नों को हल कीजिए । सभी प्रश्नों के अंक समान हैं।

Attempt all questions. All questions carry equal marks.

निम्नलिखित में से किन्हीं दो प्रश्नों को हल कीजिए :

Attempt any two questions of the following:

(अ) R³ में इकाई गोले x² + y² + z² = 1 पर बिंदुओं के विस्तारित जटिल तल z = x + iy पर रेखाचित्रीय प्रक्षेप का वर्णन कीजिए । दर्शाइए कि इस प्रक्षेपण के अंतर्गत, बिंदु z = x + iy गोले पर बिंदु

(2x/(x² + y² + 1), 2y/(x² + y² + 1), (x² + y² - 1)/(x² + y² + 1))

के अनुरूप है । (a) Describe the stereographic projection of points on the unit sphere x² + y² + z² = 1 in R³ to the extended complex plane z = x + iy. Show that

(2x/(x² + y² + 1), 2y/(x² + y² + 1), (x² + y² - 1)/(x² + y² + 1))

under this projection, the point z = x + iy corresponds to the point on the sphere.

(ब) दर्शाइए कि z के किसी भी शून्येतर मान के लिए f(z)=|z|² अविश्लेषिक है । (b) Show that f(z)=|z|² is non-differentiable for any non-zero value of z.

(स) दर्शाइए कि एक विश्लेषणात्मक फलन के वास्तविक और काल्पनिक भाग सामंजस्य समीकरण को संतुष्ट करते हैं । (c) Show that real and imaginary part of an analytic function satisfy Laplace's equation.

निम्नलिखित में से किन्हीं दो प्रश्नों को हल कीजिए :

Attempt any two questions of the following:

(अ) log(1+i) और log(-1) का मान ज्ञात कीजिए । (a) Find the value of log(1+i) and log(-1).

(ब) Evaluate

∫_L (z+2)/z dz

जहाँ L अर्धवृत्त `z = 2e^(iθ), 0 ≤ θ ≤ π` है । (b) Evaluate

∫_L (z+2)/z dz

, where L is semi-circle `z = 2e^(iθ), 0 ≤ θ ≤ π`.

(स) y=x के अनुदिश `∫(0 to 1+i) (x^2 - iy)^2 dz` का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ C उद्गम से `1+i` तक है । (c) Evaluate `∫(0 to 1+i) (x^2 - iy)^2 dz` along `y=x`.

निम्नलिखित में से किन्हीं दो प्रश्नों को हल कीजिए :

Attempt any two questions of the following:

(अ) `∫(C) 1/(z(z-1)) dz` का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ C वृत्त `|z|=3` है । (a) Evaluate

∫_C 1/(z(z-1)) dz

, where C is circle `|z|=3`.

(ब) सिद्ध कीजिए कि `∫(C) f(z)/(z-z0)^(n+1) dz = 2πi/n! f^(n)(z0)`, जहाँ `f(z)` C सीमा के भीतर विश्लेषणात्मक है और `z0` C के भीतर कोई भी बिंदु है । (b) Prove:

∫_C f(z)/(z-z₀)ⁿ⁺¹ dz = 2πi/n! f⁽ⁿ⁾(z₀)

, where `f(z)` is analytic within boundary of C and `z0` is any point within C.

(स) `∫(C) (z-1)/((z+1)^2(z-2)) dz` का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ C: `|z-i|=2` है । (c) Evaluate

∫_C (z-1)/((z+1)²(z-2)) dz

, where C: `|z-i|=2`.

निम्नलिखित में से किन्हीं दो प्रश्नों को हल कीजिए :

Attempt any two questions of the following:

(अ) लारेंट श्रेणी में `f(z) = 1/((z+1)(z+3))` का विस्तार कीजिए, जो `|z|<1` के लिए मान्य है । (a) Expand

f(z) = 1/((z+1)(z+3))

in a Laurent's series valid for `|z|<1`.

(ब) लॉरेंट श्रेणी के लिए विशिष्टता प्रमेय का कथन कीजिए और सिद्ध कीजिए । (b) State and prove uniqueness theorem for Laurent's series.

(स) `z = 0` के संबंध में टेलर श्रेणी में `f(z)=log(1+z)` का विस्तार कीजिए । (c) Expand `f(z) = log(1+z)` in a Taylor's series about `z=0`.

निम्नलिखित में से किन्हीं दो प्रश्नों को हल कीजिए :

Attempt any two questions of the following:

(अ) विलक्षण बिंदुओं को परिभाषित कीजिए और उदाहरण दीजिए । (a) Define Singular points and give examples.

(ब) निम्नलिखित फलन की विलक्षणता का प्रकार ज्ञात कीजिए :

sin(1/(1-z))

at `z = 1`. (b) Find the kind of singularity of the following function :

sin(1/(1-z))

at `z = 1`.

(स) कौशी अवशेष प्रमेय का कथन कीजिए और सिद्ध कीजिए । (c) State and prove Cauchy Residue theorem.