Group And Ring Theory

Write short notes on any two of the following :
(i) Subgroup
(ii) Cyclic group
(iii) Order of a group.

(ब) सिद्ध कीजिए कि Z(G), G का एक प्रसामान्य उपसमूह है ।
Prove that Z(G) is a normal subgroup of G.

(स) मान लीजिए G एक परिमित समूह है ।G में a के संयुग्मी तत्वों की संख्या, G में a के प्रसामान्यक का सूचक है; अर्थात :
Let G be a finite group. The number of elements conjugate to a in G is the index of the normalizer of a in G; that is :

(अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो पर संक्षिप्त टिप्पणियाँ लिखिए :
(i) उपसमूह
(ii) चक्रीय समूह
(iii) समूह की कोटि ।
Write short notes on any two of the following :
(i) Subgroup
(ii) Cyclic group
(iii) Order of a group.

(अ) फ़र्मेट प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।
State and prove Fermat's Theorem.

(ब) यूलर प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।
State and prove Euler's Theorem.

Write short notes on any TWO of the following :
(i) Automorphism of a group
(ii) Fundamental theorem of Homomorphism
(iii) Quotient groups

(अ) आंतरिक स्वकारिता को परिभाषित कीजिए । एक आबेलीव समूह के लिए एकमात्र आंतरिक स्वकारिता तत्समक प्रतिचित्रण है जबकि एक अनाबेलीव समूह के लिए अतुच्छ स्वकारिता विद्यमान होती है ।
Define Inner Automorphism. For an abelian group the only inner automorphism is the identity mapping whereas for a non-abelian group there exists non-trivial automorphism.

(ब) किसी समूह की सभी स्वकारिताओं का समुच्चय, संयोजन संक्रिया के रूप में फलनों के योग के सापेक्ष एक समूह बनाता है ।
The set of all automorphism of a group forms a group with respect to composite of functions as the composition.

(स) निम्नलिखित में से किन्हीं दो पर संक्षिप्त टिप्पणियाँ लिखिए :
(i) किसी समूह की स्वकारिता
(ii) समरूपता का मूलभूत प्रमेय
(iii) भागफल समूह ।
Write short notes on any two of the following:
(i) Automorphism of a group
(ii) Fundamental theorem of Homomorphism
(iii) Quotient groups.

(अ) यदि R एक वलय है, तो सभी a, b, c ∈ R के लिए सिद्ध कीजिए कि :
(i) a0 = 0
(ii) a(-b) = (-a)b
If R is a ring then for all a, b, c ∈ R prove that :
(i) a0 = 0
(ii) a(-b) = (-a)b = -(ab)

(ब) उप-वलय की व्याख्या कीजिए । उप-वलय के मानदंड लिखिए ।
Explain subring. Write the criteria of subring.

(स) वलय की समरूपता पर मूलभूत प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।
State and prove fundamental theorem on homomorphism of ring.

(अ) मान लीजिए R एक क्रमविनिमेय वलय है और S, R की एक गुणजावली है । तब अवशेष वर्ग R/S का वलय एक पूर्णांकीय प्रांत होता है यदि और यदि S एक अभाज्य गुणजावली हो ।
Let R be a commutative ring and S an ideal of R. Then the ring of residue classes R/S is an integral domain if and only if S is a prime ideal.

(ब) गुणजावली की व्याख्या कीजिए ।
Explain Ideal.

(स) सिद्ध कीजिए कि R की दो गुणजावलियों का प्रतिच्छेदन R की एक गुणजावली होता है ।
Prove that the intersection of two ideals of R is an ideal of R.