Elements Of Groups And Rings - BU 2025 Question Paper

Download Original PDF

Get the official Barkatullah University print version scanned document.

🤝 Help Your Juniors!

Have previous year question papers that aren't on our website? Help the next batch of students by sending them to us! With your consent, we will proudly feature your name as a Top Contributor on our platform.

Submit Papers 📩

CR-38

B.Sc. B.Ed. Examination, 2025

(Fourth Semester)

MATHEMATICS-M-4.1

Elective-III

Elements of Groups and Rings

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : 30

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । सभी प्रश्नों के अंक समान हैं ।

Attempt all questions. All questions carry equal marks.

दर्शाइए कि सभी धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय, निम्न द्वारा परिभाषित संक्रिया के अंतर्गत एक आबेलियन समूह बनाता है :

a * b = (ab)/2

Show that the set of all positive rational numbers forms an abelian group under the composition defined by:

a * b = (ab)/2

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए यदि `a, b` समूह `G` के कोई दो अवयव हैं, तब समीकरण `ax = b` और `ya = b` के `G` के पास अद्वितीय हल होते हैं ।

Prove that if a, b are any two elements of a group G, then the equations `ax = b` and `ya = b` have unique solution in G.

समूह सिद्धांत में लैंग्रांज प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Lagrange's theorem in group theory.

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि एक पूर्णांक `a` और एक अभाज्य संख्या `p` हेतु, `a^p = a mod p` ।

Prove that for an integer `a` and a prime number `p, a^p = a mod p`.

समूह सिद्धांत हेतु मूलभूत समाकारिता प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove that Fundamental Homomorphism theorem for group theory.

अथवा (Or)

मान लीजिए `G` एक समूह है और `H` और `K, G` के दो उपसमूह हैं, तब सिद्ध/असिद्ध कीजिए कि यदि `H` प्रसामान्य (नॉर्मल) है तो `HK, G` का एक उपसमूह है ।

Let G be a group and H and K be two subgroups of G, then prove/disprove that if H is normal then HK is a subgroup of G.

सिद्ध कीजिए कि, `n!` प्रतीकों पर क्रमचय, `(1/2)n!` सम क्रमचय है और `(1/2)n!` विषम क्रमचय हैं ।

Prove that, of the `n!` permutations on `n` symbols, `(1/2)n!` are even permutations and `(1/2)n!` are odd permutations.

अथवा (Or)

समूह सिद्धांत में केली की प्रमेय को बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Cayley's theorem in group theory.

मान लीजिए `R, 2 × 2` आव्यूह का वलय है और वास्तविक है । दर्शाइए कि :

Let R be the ring of `2 × 2` matrice over reals. Show that

S =

{ [x x], [x x] : x ∈ R }

`R` का एक उपवलय है । साथ ही, क्रमशः `R` और `S` में इकाई अवयवों की तुलना कीजिए ।

is a subring of R. Also, compare the unit elements in R and S, respectively.

अथवा (Or)

एक वलय `R` का केंद्र, जिसे `Z(R)` द्वारा दर्शाया जाता है, इस प्रकार परिभाषित किया गया है :

Z(R) = {a ∈ R | xa = ax ∀x ∈ R}

क्या `Z(R), R` की एक गुणजावली है ? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए ।

The center of a ring R, denoted by Z(R), is defined as :

Z(R) = {a ∈ R | xa = ax ∀x ∈ R}

Is Z(R) an ideal of R ? Justify your answer.