Mechanics-Ii - BU 2025 Question Paper

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RM-241

B.Sc. B.Ed. (Secondary) (NEW) (ITEP)

Examination, 2025

(Fourth Semester)

MATHEMATICS

SEC-IV

Mechanics-II

Time : 3 Hours] [Maximum Marks : 40

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए। प्रत्येक प्रश्न 8 अंक का है ।

Attempt all questions. Each question carries 8 marks.

एक पिंड एक अन्य स्थिर पिंड पर साम्यावस्था में स्थित है । दोनों पिंडों के संपर्क भागों की वक्रता त्रिज्याएँ क्रमशः ρ₁ और ρ₂ हैं । पहले पिंड का गुरुत्व केंद्र संपर्क बिंदु से h ऊँचाई पर है और उभयनिष्ठ अभिलंब ऊर्ध्वाधर के साथ α कोण बनाता है । सिद्ध कीजिए कि साम्यावस्था h < or > ρ₁ρ₂ / (ρ₁ + ρ₂) cosα के अनुसार स्थिर या अस्थिर है ।

A body rests in equilibrium upon another fixed body the portions of the two bodies in contact have radius of curvature ρ₁ and ρ₂ respectively. The centre of gravity of the first body is at a height h above the point of contact and the common normal makes an angle α with the vertical. Prove that the equilibrium is stable or unstable according as h < or > ρ₁ρ₂ / (ρ₁ + ρ₂) cosα.

अथवा (Or)

A body consisting of a cone and a hemisphere on the same base, rest on a rough horizontal table the hemisphere being in contact with the table, show that greatest height of the Cone so that the equilibrium may be stable is √3 times the radius of the hemisphere.

एक घन के कोरों पर P के बराबर छह बल कार्य करते हैं, जो क्रम से लिए गए हैं और किसी दिए गए विकर्ण पर नहीं मिलते। दर्शाइए कि परिणामी आघूर्ण 2√3 Pa का एक युग्म है, जहाँ a घन का कोर है

Six forces each equal to P act along edges of a cube, taken in order which do not meet a given diagonal. Show that there resultant is a couple of moment 2√3 Pa where a is the edge of the cube.

अथवा (Or)

केंद्रीय अक्ष, केंद्रीय अक्ष की विशेषताएँ, रेंच और पिच को परिभाषित कीजिए ।

Define Central axis, characteristics of central axis, wrench and pitch.

सीधी रेखाओं x = 0, y – z = a; y = 0, z – x = a; z = 0, x – y = a के अनुदिश तीन बल कार्यरत हैं । दर्शाइए कि इन्हें समतुल्य रूप से एक युग्म में समानित नहीं किया जा सकता ।

Three forces acting along the straight lines x = 0, y – z = a; y = 0, z – x = a; z = 0, x – y = a. Show that they can not be reduced equivalently to a couple.

अथवा (Or)

किसी दिए गए बल निकाय के केंद्रीय अक्ष का समीकरण ज्ञात कीजिए ।

Find the equation of the Central axis of any given, system of forces.

एक कण को एक ऐसे माध्यम में जिसके क्षैतिज तल पर वेग u से प्रक्षेपित किया जाता है जिसका प्रति इकाई द्रव्यमान प्रतिरोध k (वेग) है । दर्शाइए कि समय t के बाद वेग और समय में दूरी S निम्न द्वारा दी गई है :

v = ue^-kt and S = u(1 − e^-kt)/k.

A particle is projected with velocity u along a smooth horizontal plane in a medium whose resistance perunit mass is k (velocity). Show that the velocity after a time t and the distance S in that time are given by :

v = ue^-kt and S = u(1 − e^-kt)/k.

अथवा (Or)

दिखाइए कि एक कण को U वेग से ऊपर की ओर प्रक्षेपित करने पर, एक ऐसे माध्यम में जिसका प्रतिरोध वेग के वर्ग के अनुसार परिवर्तित होता है, वह समय

V/g (tan^-1(U/V) + tan^-1(h/V))

के बाद V₁ = UV/√(U²+V²) वेग से प्रक्षेपण बिंदु पर वापस आ जाएगा ।

Show that a particle projected upward with a velocity U in a medium whose resistance varies as the square of the velocity, well return to the point of projection with velocity V₁ = UV/√(U²+V²) after a time

V/g (tan^-1(U/V) + tan^-1(V₁/V)).

द्रव्यमान M का एक कण त्रिज्या r के वृत्त के अनुदिश अभिकेंद्रीय त्वरण के साथ गति करता है जो समय के साथ परिवर्तित होता है, अर्थात् a_c = kr², जहाँ k एक स्थिरांक है। गति आरंभ करने के बाद प्रथम t समय में शक्ति का औसत मान ज्ञात कीजिए ।

A particle of mass M moves along a circle of radius r with centripetal acceleration varying with time as a_c = kr² where k is a constant find average value of the power over the first t time after beginning of motion.

अथवा (Or)

द्रव्यमान m का एक रॉकेट, बाह्य बल F, के अधीन वेग v से गतिमान है । रॉकेट की गति के लिए समीकरण ज्ञात कीजिए ।

A Rocket of mass m, moving with velocity v subject to the External forces F, find the equation for the motion of the Rocket.