Mathematics Elem Of Gps Rings

The order of identity element of a group is always equal to

किसी समूह के पहचान तत्व e का क्रम हमेशा ...... के बराबर होता है

1. 1
2. 2
3. order of G
4. 0

When 8¹⁰³ is divisible by 103 (mod 197), the remainder by Fermat's theorem will be.

जब 8¹⁰³, 103 (मॉड 197) से विभाज्य है, तो फर्मेट के प्रमेय के अनुसार शेषफल होगा -

1. 6
2. 7
3. 8
4. 10

G is an abelian group, then the group defined by G' = G, f(x) = x³ ∀x ∈ G

G एक आबेलीयन समूह है, तो समूह द्वारा परिभाषित किया गया है G' = G, f(x) = x³ ∀x ∈ G

1. Homomorphism
   होमोटॉर्फिज्म
2. is isomorphic mapping
   आइसोमोर्फिक मैपिंग
3. is not isomorphic mapping
   आइसोमोर्फिक मैपिंग नहीं है
4. None of these
   इनमें से कोई नहीं

Degree of the symmetric group S₄ is

1. 6
2. 12
3. 18
4. 24

Let f : R → R' be a mapping is called homomorphism if

मान ले कि f : R → R' मानचित्रण है जिसे समरूपता कहा जाता है यदि

1. f(a+b) = f(a) + f(b)
   एफ (ए + बी) = एफ (ए) + एफ (बी)
2. f(ab) = f(a) . f(b)
   एफ (ए बी) = एफ (ए) . एफ (बी)
3. f(0) = 0¹
   एफ (0) = 0¹
4. f(a+b) = f(a) + f(b) and f(a.b) = f(a) . f(b)
   एफ (ए + बी) = एफ (ए) + एफ (बी) और एफ (ए.बी) = एफ (ए). एफ (बी)

Prove that for all a,b ∈ G, (aob)^-1 = b^-1oa^-1

सिद्ध कीजिए कि a,b ∈ G, सभी (aob)^-1 = b^-1oa^-1

OR/अथवा

Show that a group G is an abelian if, for a,b ∈ G, (ab)² = a²b²

दर्शाइए कि समूह G एक आबेलीयन है यदि a,b ∈ G, के लिए (ab)² = a²b²

If a, b are two distinct arbitrary elements of a group G and H is a subgroup of G, then prove that aH = bH, if and only if b^-1 a ∈ H.

यदि a, b समूह G के दो अलग-अलग यादृच्छिक तत्व है और H, G का एक उपसमूह है, तो सिद्ध करे कि aH = bH, यदि और केवल यदि b^-1 a ∈ H हो।

OR/अथवा

Prove that every group of prime order is cyclic.

सिद्ध कीजिए कि अभाज्य कोटि का प्रत्येक समूह चक्रीय होता है।

Prove that the intersection of two normal subgroups of a group is a normal subgroup.

सिद्ध कीजिए कि एक समूह के दो सामान्य उपसमूहों का प्रतिच्छेदन एक सामान्य उपसमूह होता है।

OR/अथवा

Show that every quotient group of an abelian group is abelian.

दिखाएँ कि एक अबेलियन समूह का प्रत्येक शेष समूह अबेलियन

Find the inverse of the permutation

(1 2 3 4
1 3 4 2)

क्रमचय का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए

(1 2 3 4
1 3 4 2)

OR/अथवा

Find the inverse of cyclic permutation A = (1, 2, 5) which representing a permutation of degree 6.

चक्रीय क्रमचय A = (1, 2, 5) का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। जो डिग्री-6 के क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।

The set of all integers I is a commutative ring with respect to usual addition and multiplication.

सभी पूर्णांकों I का समुच्चय सामान्य योग और गुणन के संबंध में एक क्रमविनिमय वलय है।

OR/अथवा

Prove that set of numbers of the form a + b√2 with a and b as rational numbers is a field.

सिद्ध कीजिए कि a और b के साथ फार्म a + b√2 की संख्याओं का समुच्चय परिमेय संख्या के रूप में अ क्षेत्र है।

Find the order of each elements of a additive group. G = {0,1,2,3,4,5} (mod 6)

योगात्मक समूह के प्रत्येक तत्वों का क्रम ज्ञात कीजिए। G = {0,1,2,3,4,5} (mod 6)

OR/अथवा

Prove that every cyclic group is abelian.

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक चक्रीय समूह अबेलियन है।

Prove that the order of each subgroup of a group is a divisor of the order of the group.

सिद्ध कीजिए कि किसी समूह के प्रत्येक उपसमूह की कोटि, समूह की कोटि का भाजक है।

OR/अथवा

If p is any prime number and a is any integer, then a^p = a (mod p)

यदि p कोई अभाज्य संख्या है और a कोई पूर्णांक है, तो a^p = a (mod p)

If f is a homomorphism of group G into a group G' then prove that kernel K of f is normal subgroup of G.

यदि f समूह G का समूह G' में समाकारिता है तो सिद्ध कीजिए कि f का कर्नल K, G का सामान्य उपसमूह है।

OR/अथवा

Prove that every homomorphic image of a group G is isomorphic to some quotient group of G

सिद्ध कीजिए कि समूह G का प्रत्येक समरूपी प्रतिबिंब, G के किसी भागफल समूह का समरूपी होता है।

Prove that the n! permutations on n symbols, n!/2 are even and n!/2 are odd.

सिद्ध कीजिए कि n चिन्हों पर n! क्रमचय, n!/2 सम है और n!/2 विषम है।

OR/अथवा

Prove that each finite group of order n is isomorphic to permutation group on n symbols.

सिद्ध करें कि क्रम n का प्रत्येक समूह n प्रतीकों पर क्रमपरिवर्तन समूह के समरूपी है।

Prove that a ring R has no proper zero-divisors, if and only if, the cancellation laws of multiplication hold in R.

सिद्ध करें कि एक वलय R में कोई उचित शून्य-भाजक नहीं है, यदि और केवल यदि, गुणन के निरस्त्रीकरण नियम R में हों।

OR/अथवा

Prove that a field is a necessarily an integral domain.

सिद्ध कीजिए कि एक क्षेत्र अनिवार्य रूप से एक अभिन्न प्रांत है।