Mathematics Elem Of Gps Rings

(i) A monoid (M,O) is a group if it satisfies.

(a) Closure property

(b) Associativity

(c) Identity

(d) Existence of inverse

एक मोनॉइड (M,O) समूह है यदि वह संतुष्ट करता है

(a) संवरक गुण

(b) साहचर्यता

(c) तत्समकता

(d) प्रतिलोम का अस्तित्व

(ii) The order of w in the group ({1, w, w²}) is

समूह ({1, w, w²}) में w का क्रम है

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

(iii) The generators of the cyclic group ({0, 1, 2, 3, 4, 5}, +₆) are :

(a) 1 and 2

(b) 2 and 3

(c) 3 and 4

(d) 1 and 5

चक्रीय समूह ({0, 1, 2, 3, 4, 5}, +₆) का जनक है :

(a) 1 और 2

(b) 2 और 3

(c) 3 और 4

(d) 1 और 5

(iv) Which of the following is a zero ring?

निम्नलिखित में कौन सा शून्य वलय है?

(a) ({0}, +, .)

(b) (R, +, .)

(c) (Q, +, .)

(d) (C, +, .)

(v) Which of the following statement is true :

(a) Every group is a field

(b) Every ring is a field

(c) Every integral domain is a field

(d) Every finite integral domain is a field

निम्नलिखित में कौन सा कथन सत्य है :

(अ) प्रत्येक समूह एक क्षेत्र है।

(ब) प्रत्येक वलय एक क्षेत्र है।

(स) प्रत्येक पूर्णांकीय प्रान्त एक क्षेत्र है।

(द) प्रत्येक परिमित पूर्णांकीय प्रान्त एक क्षेत्र है।

Show that the set I of all integres ie. I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ---} is an infinite abelian group with respect to the operation of addition of integers.

दिखाइये कि योग्य द्विआधारी संक्रिया के साथ सभी पूर्णांकों का समुच्चय I, अर्थात I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ---} एक अनन्त आबेली समूह होता है।

Intersection of two subgroups of a group G is a subgroup of G

समूह G के दो उपसमूहों का सर्वनिष्ट, G का एक उपसमूह होता है।

Any two right (left) cosets of a subgroup are either disjoint or identical.

उपसमूह में कोई दो वाम (दक्षिण) सहसमुच्चय या तो संपाती है या असंयुक्त है।

State and prove Lagrange's theorem.

लंग्रांज प्रमेय को लिखकर सिद्ध कीजिये?

A subgroup H of a group G is normal iff xHx^-1 = H ∀ x ∈ G

समूह G का उपसमूह H, समूह G का प्रसामान्य उपसमूह होगा यदि और केवल यदि xHx^-1 = H ∀ x ∈ G

Show that types of Homomorphism.

समाकारिता के प्रकार लिखिए।

Define the permutation with the example.

क्रमचय की परिभाषा उदाहरण सहित लिखिये।

Of the n! permutations on n symbols. ¹⁄₂ n! are even permutations ¹⁄₂ n! are odd permutations.

n - प्रतीकों पर n! क्रमचयो में ¹⁄₂ n! सम क्रमचय होते है। और ¹⁄₂ n! विषम क्रमचय होते है।

If the system (R, +, •) be a ring R, then

(i) a.0 = 0 ∀ a ∈ R

(ii) a.(-b) = (-a).b = -(a.b) ∀ a,b ∈ R

यदि (R, +, •) एक वलय R है तो

(i) a.0 = 0 ∀ a ∈ R

(ii) a.(-b) = (-a).b = -(a.b) ∀ a,b ∈ R

Prove that the intersection of two subrings is a subring.

सिद्ध कीजिए कि दो उपवलयों का प्रतिच्छेदन एक उपवलय होता है।

Every cyclic group is an abelian group.

प्रत्येक चक्रीय समूह एक आबेली समूह होता है।

If H is any subgroup of G Then H.H = H

यदि H, G का एक उपसमूह है, तो H.H = H

Let H and K be finite subgroups of a group G Then

O(HK) = ^O(H)O(K)⁄_{O(H ∩ K)}

यदि समूह G के H और K परिमित उपसमूह है, तो

O(HK) = ^O(H)O(K)⁄_{O(H ∩ K)}

State and prove Fermat theorem.

फर्मा प्रमेय लिखकर सिद्ध कीजिये।

If N is a normal subgroup of a group G then G/N is a group with respect to multiplication of cosets.

यदि N समूह G का प्रसामान्य उपसमूह है। तो सहसमुच्चयों का समुच्चय G/N गुणन के अधीन समूह है।

If f: G → G' is an isomorphism, then

(i) f(e) = e'

(ii) f(a^-1) = [f(a)]^-1

यदि f: G → G' एक तुल्याकारिता है, तो

Every finite group G is isomorphic to a permutation group.

प्रत्येक परिमित समूह G, क्रमचय समूह का तुल्यकारी होता है।

The set an of all even permutations of n symbol forms a finite non abelian group of order ¹⁄₂ n! with respect to permutation multiplication.

n प्रतीकों पर सभी सम क्रमचयो का समुच्चय An क्रमचयों के गुणन के सापेक्ष ¹⁄₂ n! का एक परिमित समूह है जो आबेली नहीं है।

Every field is an integral domain.

प्रत्येक क्षेत्र एक पूर्णांकीय प्रान्त होता है।

Define the integral domain with example.

पूर्णांकीय प्रान्त की परिभाषा लिखकर उदाहरण दीजिये।