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RF-41

B.Sc.B.Ed. IV^th Semester

Examination, 2023

Mathematics - II Machanics

Time : 3 Hours] [Maximum Marks : 30

Note :- Attempt all questions. Answer any two parts from each questions.

नोट :- सभी प्रश्नों को हल करें। प्रत्येक प्रश्न में से किन्हीं दो भागों के उत्तर दीजिए।

1. (a)

Define virtual displacement and virtual work, give their example.

आभासी विस्थापन और आभासी कार्य को परिभाषित करें, उनके उदाहरण दें।

(b)

Prove that a system of coplanar forces acting in one plane at different points of a rigid body can be reduced to a single force through any given point and a single couple.

सिद्ध करें कि एक कठोर शरीर के विभिन्न बिंदुओं पर एक विमान में कार्य करने वाले समतलीय बलों की एक प्रणाली को किसी दिए गए बिंदु और एक जोड़े के माध्यम से एक ही बल में कम किया जा सकता है।

(c)

Prove that, the necessary and sufficient condition that a system of coplanar forces acting on a particle or a rigid body in equilibrium is that the algebraic sum of the virtual works done by the forces during a small displacement consistent with the geometrical condition of the system is zero to the first degree of approximation.

सिद्ध करें कि, आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि संतुलन में एक कण या कठोर शरीर पर कार्य करने वाले समतलीय बलों की एक प्रणाली है कि सिस्टम की ज्यामितीय स्थिति के अनुरूप एक छोटे विस्थापन के दौरान बलों द्वारा किए गए आभासी कार्यों का बीजगणितीय योग पहले सन्निकटन की डिग्री के लिए शून्य है।

2. (a)

Write short note on any two of the following:

Radial and transverse velocities
Radial and transverse accelerations
Angular velocity and Angular acceleration

निम्नलिखित में से किन्हीं दो पर संक्षिप्त टिप्पणी लिखें।

रेडियल और अनुप्रस्थ वेग
रेडियल और अनुप्रस्थ त्वरण
कोणीय वेग और कोणीय त्वरण

(b)

Prove that if the tangential and normal accelerations of a particle describing a plane curve be constant throughout out the motion, the angle ψ through which the direction of motion turns is given by

ψ = A log(1+Bt)

सिद्ध करें कि यदि एक समतल वक्र का वर्णन करने वाले कण की स्पर्शरेखीय और सामान्य त्वरण पूरी गति के दौरान स्थिर रहते हैं, तो वह कोण ψ जिसके माध्यम से गति की दिशा घूमती है, दिया जाता है।

ψ = A log(1+Bt)

(c)

The position of a moving point at time 't' is given by x = a cos t and y = a sin t find its path, velocity and acceleration.

समय 't' पर एक गतिमान बिंदु की स्थिति x = a cos t और y = a sin t द्वारा दी गई है, इसका पथ, वेग और त्वरण ज्ञात करें।

3. (a)

What is simple harmonic motion? Give two examples. Deduce the differential equation of simple harmonic motion and find its solution.

सरल आवर्त गति क्या है? दो उदाहरण दीजिए। सरल आवर्त गति का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए तथा उसका हल ज्ञात कीजिए।

(b)

Define catenary. Give examples write the mathematical equation of a catenary and give the application of catenary.

कैटेनरी को परिभाषित करें, उदाहरण दीजिए, कैटेनरी का गणितीय समीकरण लिखिए और कैटेनरी का अनुप्रयोग दीजिए।

(c)

An elastic string of natural length 2l can just support a certain weight when it is stretched till its length is 3l. One end of the string is now attached to a point on a smooth horizontal table and the same weight is attached to the other end prove that if the weight be pulled to any distance and let go, the string will become slack after a time

π√(l/g)

प्राकृतिक लंबाई 2l की एक लोचदार स्ट्रिंग केवल एक निश्चित वजन का समर्थन कर सकती है जब इसे इसकी लंबाई 3l तक खींचा जाता है। डोरी का एक सिरा अब एक चिकनी क्षैतिज मेज पर एक बिंदु से जुड़ा हुआ है और वही वजन दूसरे सिरे से जुड़ा हुआ है साबित करें कि यदि वजन को किसी भी दूरी तक खींचा जाए और छोड़ दिया जाए, तो स्ट्रिंग एक समय के बाद ढीली हो जाएगी

π√(l/g)

4. (a)

Equal forces act along the co-ordinate axes and the straight line (x-α)/l = (y-β)/m = (z-γ)/n find the equation of the central axis of the system.

समान बल निर्देशांक अक्षों और सीधी रेखा (x-α)/l = (y-β)/m = (z-γ)/n के साथ कार्य करते हैं। निकाय के केंद्रीय अक्ष का समीकरण ज्ञात कीजिए।

(b)

A heavy uniform rod rests with one end against a smooth vertical wall and with a point in its length resting on a smooth Beg. Find the position of equilibrium and show that it is unstable.

एक भारी समान छड़ एक चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार के खिलाफ एक छोर के साथ और इसकी लंबाई में एक बिंदु के साथ एक चिकनी बेग पर टिकी हुई है। संतुलन की स्थिति ज्ञात कीजिए और दिखाइए कि यह अस्थिर है।

(c)

Define Boinsot's central Axis theorem and explain wrench pitch.

बोइनसोत के केंद्रीय अक्ष प्रमेय को परिभाषित करें और रिव, पिच की व्याख्या करें।

5. (a)

If a particle moves in three dimension, then find the acceleration of the particle in terms of cartesian co-ordinates, velocity. If the particle starts from rest, find the distance through which it has fallen in time 't'.

यदि कोई कण तीन आयामों में चलता है, तो कार्तीय निर्देशांक के संदर्भ में कण का त्वरण ज्ञात करें। यदि कण आराम से शुरू होता है, तो वह दूरी ज्ञात करें जिससे वह समय 't' में गिरा है।

(b)

A particle of mass 'm' is falling under the gravity through a medium whose resistance is equal to 'M' times the velocity. If the particle were released from rest, show that the distance 'x', fallen through in time 't' is

x = (gm²/H²)[(μt/m) + e^(μt/m) - 1]

द्रव्यमान 'm' का एक कण गुरुत्वाकर्षण के तहत एक माध्यम से गिर रहा है जिसका प्रतिरोध वेग के 'M' गुना के बराबर है। यदि कण को आराम से छोड़ा गया था, तो दिखाएँ कि समय 't' में गिरी हुई दूरी 'x' है