Ring Theory

(a) सिद्ध कीजिए कि समुच्चय R = {0, 1, 2, 3, 4, 5} दो वलय संवेधन के रूप में '+' और 'x' के सापेक्ष एक क्रमविनिमेय वलय है ।

Prove that the set R = {0, 1, 2, 3, 4, 5} is a commutative ring with respect to '+' and 'x' as the two ring composition.

(b) सिद्ध कीजिए कि यदि R एक वलय है, तो सभी a, b, c ∈ R के लिए :

Prove that if R is a ring then for all a, b, c ∈ R:

1. a.0 = 0.a = 0
2. a(-b) = -(ab) = (-a)b
3. (-a)(-b) = ab
4. a(b - c) = ab - ac
5. (b - c)a = ba - ca.

(c) सिद्ध कीजिए कि समाकल प्रांत का अभिलक्षण या तो 0 या अभाज्य संख्या है ।

Prove that the characteristic of an Integral Domain is either 0 or a prime number.

(a) सिद्ध कीजिए कि $S = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} : a, b \in \mathbb{Z} \right\}$ के रूप में सभी आव्यूहों का उपसमुच्चय S, पूर्णांक a और b वाले सभी 2×2 आव्यूहों के वलय R का एक उपवलय बनाता है, जिनके अवयव पूर्णांक हैं । सिद्ध कीजिए कि R में S न तो दायीं गुणजावली है और न ही बायीं गुणजावली है ।

Prove that the subset S of all matrices of the form

with a and b integers, form a subring of the ring R of all 2×2 matrices having element as integers. Prove further that S is neither a right ideal nor a left ideal in R.

(b) सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक क्षेत्र एक समाकल प्रांत है और प्रत्येक परिमित समाकल प्रांत एक क्षेत्र है ।

Prove that every field is an integral domain and every finite integral domain is a field.

(c) सिद्ध कीजिए कि यदि 'a' एक क्रमविनिमेय वलय R में एक अवयव है, तो समुच्चय $S = \{ ra : r \in R \}$, अवयव a द्वारा जनित R की एक मुख्य गुणजावली है, अर्थात् $S = (a)$ ।

Prove that if 'a' is an element in a commutative Ring R with unity, then the set $S = \{ra : r \in R\}$ is a principal ideal of R generated by the element a i.e., $S = (a)$.

(a) सिद्ध कीजिए कि यदि f वलय R का कर्नल S वाले वलय R में एक होमोमॉर्फिज्म है, तो S, R की एक गुणजावली है ।

Prove that if f is a homomorphism of a ring R into a ring R' with kernel S, then S is an Ideal of R.

(b) वलयों की होमोमॉर्फिज्म पर मौलिक प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove fundamental theorem on homomorphism of rings.

(a) सिद्ध कीजिए कि R इकाई अवयव वाला एक वलय है और φ, R का एक समाकाल प्रतीक R' में एक होमोमॉर्फिज्म है जिससे कि φ का गिरी (कर्नल) अर्थात् I(φ) = R है, तो φ(1), R' का इकाई अवयव है ।

Prove that if R is a ring with unit element 1 and φ is a homomorphism of R into an integral domain R' such that kernel of φ i.e., I(φ) = R then φ(1) is the unit element of R'.

(b) दर्शाइए कि पूर्णांकों के वलय पर बहुपद वलय Z[x] एक मुख्य गुणजावली वलय नहीं है ।

Show that the polynomial ring Z[x] over the ring of integers is not a principal ideal ring.

(c) सिद्ध कीजिए कि समाकल का वलय एक यूक्लिडियन प्रांत है ।

Prove that the ring of integer is a Euclidean Domain.

(a) आइन्सटीन की अविभाज्यता की कसौटी बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Eisenstein's criterion of irreducibility.

(b) सिद्ध कीजिए कि यदि 'p' एक अभाज्य संख्या है, तो बहुपद $x^p - p$ परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में अविभाज्य है ।

Prove that if 'p' is a prime number, then the polynomial $x^p - p$ is irreducible over the field of rational numbers.

(c) दर्शाइए कि बहुपद $x^3 - 3$ परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में अविभाज्य है ।

Show that the polynomial $x^3 - 3$ is irreducible over the field of rational number.