(अ) किसी समूह की स्वाकारिता को परिभाषित कीजिए । दिखाइए कि मैपिंग f:I→I जैसे कि f(x) = -x ∀ x ∈ I पूर्णांक I के योगात्मक समूह की स्वाकारिता है ।

(ब) किसी समूह G के सभी अंतःस्वाकारिता का समुच्चय I(G) अपने स्वाकारिताओं के समूह का एक प्रसामान्य उपसमूह है जो G के विभाग (क्वोशेंट) समूह G/Z के तुल्यकारी है, जहाँ Z, G का प्रतिरूप है ।

The set I(G) of all inner automorphism of a group G is a normal subgroup of the group of its automorphism isomorphic to the quotient group G/Z of G where Z is the contre of G .

(स) किसी समूह के सभी स्वाकारिता का समुच्चय संयोजन के रूप में फलनों के समग्र के संबंध में एक समूह बनाता है ।

The set of all automorphism of a group forms a group with respect to composite of functions as the composition.

(अ) साइलो प्रमेय को बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Sylow theorem.

(ब) सिद्ध कीजिए कि यदि G एक परिमित अबेलियन समूह है और p को एक अभाज्य संख्या माना जाता है । यदि p|O(G), तो वह एक तत्व a∈G है, जैसे कि a^p = e ।

Prove that if G be a finite abelian group and let p be a prime. If p|O(G), then there is an element a∈G, such that a^p = e.

(स) मान लीजिए G क्रम 108 का एक समूह है । दिखाइए कि क्रम 27 या 9 का एक प्रसामान्य उपसमूह मौजूद है ।

Let G be a group of order 108. Show that there exists a normal subgroup of order 27 or 9.

If R is a ring then: for a, b, c ∈ R, prove that :

(ब) सिद्ध कीजिए कि एक वलय R शून्य विभाजक के बिना है यदि और केवल यदि R में निरस्तीकरण नियम लागू होता है ।

Prove that a ring R is without zero divisor if and only if the cancellation law hold in R.

(स) यदि S₁ और S₂ एक वलय R की गुणजावली है और S₁ + S₂ = {s₁ + s₂ : s₁ ∈ S₁, s₂ ∈ S₂} मानते है, तो S₁ + S₂, S₁∪S₂ द्वारा उत्पन्न R की एक गुणजावली है ।

If S₁ and S₂ be ideals of a ring R and let S₁ + S₂ = {s₁ + s₂ : s₁ ∈ S₁, s₂ ∈ S₂}, then S₁ + S₂ is an ideal of R generated by S₁∪S₂.

(अ) यदि R एक वलय है, a, b, c ∈ R एक वलय तब है, तो सिद्ध कीजिए कि :

(अ) यूक्लिडियन वलय को परिभाषित कीजिए । दिखाइए कि पूर्णांकों का वलय एक यूक्लिडियन वलय है ।

Define Euclidean Ring. Show the ring of integers is a Euclidean ring.

(ब) सिद्ध कीजिए कि एक स्वेच्छ वलय R पर सभी बहुपदों का समुच्चय R[x] बहुपदों के योग और गुणन के संबंध में एक वलय है ।

Prove that the set R[x] of all polynomials over an arbitrary ring R is a ring with respect to addition and multiplication of polynomials.

(स) यदि f(x) और g(x) आदिम बहुपद हैं, तो f(x)g(x) एक आदिम बहुपद है ।

If f(x) and g(x) are primitive polynomials, then f(x)g(x) is a primitive polynomial.

(अ) यदि P एक अभाज्य संख्या है, तो सिद्ध कीजिए कि बहुपद xⁿ - P परिमेय संख्या पर अपरिवर्तनीय है ।

If P is a prime number, prove that the polynomial xⁿ - P is irreducible over the rational.

(ब) यदि (R, +, •) एक पूर्णांकीय प्रांत है, तो इसका बहुपद वलय (R[x], +, •) भी एक पूर्णांकीय प्रांत है ।

If (R, +, •) be an integral domain, then its polynomial ring (R[x], +, •) is also an integral domain.

(स) यदि R एक अद्वितीय गुणनखंडित प्रांत है और यदि p(x), R[x] में एक आदिम बहुपद है, तो इसे R[x] में अपरिवर्तनीय तत्व के गुणनफल के रूप में एक अद्वितीय तरीके से गुणनखंडित किया जा सकता है ।

If R is a unique factored domain and if p(x) is a primitive polynomial in R[x], then it can be factored in a unique way as the product of irreducible element in R[x].