Real Complex Analysis

Let $f:[a,b] \to R$ be bounded prove that $f \in R(x)$ on $[a,b]$ iff for each $\epsilon > 0$ there is a partition P such that $U(P,f)-L(P,f) \le \epsilon$.

माना $f:[a,b] \to R$ परिबद्ध है, तब सिद्ध कीजिए कि $f \in R(x)$ पर $[a,b]$ एक दूतरे के लिए $\epsilon > 0$ एक विभाजन P है जैसे $U(P,f)-L(P,f) \le \epsilon$

Prove that if $\varphi$ is bounded and monotonic in $[a, \infty]$ and tends to 0 and $x \to \infty$, and $\int_a^x f.dx$ is bounded for $x \ge a$, $\int_a^\infty \varphi f.dx$ is convergent at $\infty$.

सिद्ध कीजिए कि यदि $\varphi$ परिबद्ध है, और $[a, \infty]$ में मोनोटॉनिक है तथा $0$ और $x \to \infty$ की ओर प्रवृत है और $\int_a^x f.dx, x \ge a$ के लिए परिबद्ध है तो $\int_a^\infty \varphi f.dx$ अभिसारी है

Show that function $f(z) = u+iv$ where, $f(z) = \frac{x^3(1+i)-y^3(1-i)}{x^2+y^2}$, $z \ne 0$ & $f(0)=0$ is continuous and that Cauchy-Riemann equation are satisfied at the origin yet $f'(0)$ does not exist.

सिद्ध कीजिए फंक्शन $f(z) = u+iv$ जहां $f(z) = \frac{x^3(1+i)-y^3(1-i)}{x^2+y^2}$, $z \ne 0$ & $f(0)=0$ निरन्तर है और कौची-रीमेन समीकरण मूलतः सिद्ध है तब भी $f'(0)$ मौजूद नहीं है।

Find the bilinear (Mobius) transformation which maps the circle $|w|=1$ into the circle $|z-i|=1$ and maps $w=0$ into $z=1/2$ respectively. Show that the transformation is uniquely determine.

सिद्ध कीजिए (मोबियस) परिवर्तन ज्ञात कीजिए जो वृत्त $|w|=1$ को वृत्त $|z-i|=1$ में बनाता है और $w=0$, $w=1$ को क्रमश: $z=1/2$, $z=0$ में बनाता है। और यह भी सिद्ध कीजिए कि परिवर्तन विशिष्ट रूप से निर्धारित है।