Abstract Algebra

(a) If T:G → G be homomorphism and let commutes with every inner automorphism of G. Show that
यदि T:G → G एक समरूपता है और G के प्रत्येक आन्तरिक स्वसमरूपता स्थानान्तरित करता है, तब सिद्ध कीजिए

1. \(k = \{x \in G | T^2(x) = T(x)\}\)
   is a normal subgroup of G.
   \(k = \{x \in G | T^2(x) = T(x)\}\) एक G का साधारण उपसमूह है।
2. G/k is abelian (G/k ऐबेलियन है)

(b) Define Inner Automorphism. For an abelian group the only inner automorphism is the identity mapping whereas for non-abelian automorphism there exist non-trivial automorphism.
आन्तरिक स्वसमरूपता को परिभाषित कीजिए। एक ऐबेलियन समूह के लिए एक मात्र आन्तरिक ऑटोमोर्फिज्म पहचान मानचित्रण है जबकि गैर-ऐबेलियन ऑटोमोर्फिज्म के लिए नॉन-ट्रिवियल ऑटोमोर्फिज्म मौजूद है।

(c) Show that a → a^-1 is an automorphism of a group G iff G be abelian.
सिद्ध कीजिए कि a → a^-1 समूह G का स्वसमरूपता है यदि G ऐबेलियन हो।

(a) State and prove Cauchy's theorem for non abelian group.
नॉन ऐबेलियन समूह के लिए कौची का प्रमेय सिद्ध कीजिए।

(b) State and prove first sylow theorem
प्रथम साइलो प्रमेय सिद्ध कीजिए।

(c) If H is a P-sylow subgroup of a group G and x ∈ G then prove that \(xHx^{-1}\) is also a P-sylow subgroup of G.
यदि H समूह G और x ∈ G का P-साइलो उपसमूह है तो सिद्ध कीजिए कि \(xHx^{-1}\) भी G का P-साइलो उपसमूह है।

(a) Define Subring of a ring. Prove that a ring R is without zero divisor if and only if the cancellation law hold in R.

(b) State and prove Fundamental theorem on homomorphism of Ring.
वलय के समरूपता पर मौलिक प्रमेय सिद्ध कीजिए।

(c) Prove that the intersection of two ideals of R is an ideal of R.
सिद्ध कीजिए कि R के दो आदर्शों का प्रतिच्छेदन R का एक आदर्श है।

(a) Prove that the ring of Polynomials over a field is a Euclidean ring.
सिद्ध कीजिए कि एक क्षेत्र के ऊपर बहुपद का वलय एक यूक्लिडियन वलय है।

(b) If R be a unique factorization domain. Then every non-zero member \(f(x)\) of \(R[x]\) is expressible as a product \(af_1(x)\) where \(a=c(f)\) and \(f_1(x)\) is a primitive member of \(R[x]\) and this expression is unique part from the differences in associates.
यदि R एक अद्वितीय गुणनखण्ड हो तब \(R[x]\) का गैर-शून्य सदस्य \(f(x)\), \(R[x]\) उत्पाद \(af_1(x)\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां \(a=c(f)\) और \(f_1(x)\), \(R[x]\) का एक पुराना सदस्य है और यह अभिव्यक्ति सहभागियों में भिन्नता से अद्वितीय हिस्सा है।

(c) The polynomial \(x^3 + 5x^2 - 7x + 3\) is a primitive polynomial of I[x]. Since g.c.d. of 1, 5, 7, 3 is 1.
बहुपद \(x^3 + 5x^2 - 7x + 3\), I[x] का एक प्राचीन बहुपद है क्योंकि 1, 5, 7, 3 का g.c.d., 1 है।

(a) The Eisenstein criterion, Let \(f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ...... + a_nx^n\) be a polynomial with integer coefficients. Suppose:
आइंस्टीन मानदण्ड, माना कि
\(f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ...... + a_n x^n\) पूर्णांक गुणांक वाला एक बहुपद है मान लीजिए कि कुछ अभाज्य संख्या
P, P ∤ a_n, P | a_n-1, ..., P | a₁, P | a₀, P² ∤ a₀ तब
f(x) परिमेय संख्या के क्षेत्र में अपरिवर्तनीय है।

(c) If (R,+,.) is an integral domain, then its polynomial ring (R[x],+,.) is also integral domain.
यदि (R,+,.) एक अभिन्न भाग है, तब इसका बहुपद वलय (R[x],+,.) भी एक अभिन्न भाग है।