Abstract Algebra

Define Automorphism. Let G be a group. H, a subgroup of G, is an automorphism of G.

ऑटोमॉर्फिज्म को परिभाषित करें । माना G एक समूह है । H, G का एक उपसमूह, f. G का एक ऑटोमॉर्फिज्म है

Let f(H) = {{f(h) : h ∈ H}} Prove that f(H) is a subgroup of G.

सिद्ध कीजिए कि f (H),G का एक उपसमूह है

Define inner automorphism of group. Prove that for an abelian group the only inner automorphism is the identity mapping where as for non abelian groups there exist non trivial automorphism.

समूह के आंतरिक ऑटोमॉर्फिज्म को परिभाषित करें । साबित करें कि एक एबेलियन समूह के लिए एकमात्र आंतरिक ऑटोमॉर्फिज्म पहचान मानचित्रण है जहाँ गैर एबेलियन समूहों के लिए गैर तुच्छ ऑटोमॉर्फिज्म मौजूद है ।

State and prove counting principal.

काउंटिंग प्रिंसिपल को बताएं और साबित करें ।

If H is a sylow subgroup of G and x ∈ G then x⁻¹ H x is also a p sylow subgroup of G.

यदि H, G का एक सलो उपसमूह है, तो x⁻¹ H x भी G का एक सलो उपसमूह है ।

Prove that any two p sylow subgroup are conjugate.

साबित करें कि कोई भी दो p साइलो उपसमूह संयुग्मित है ।

State and prove cauchy's theorem for an abelian group.

एबेलियन समूह के लिए कौची के प्रमेय को बताएं और साबित करें ।

Define Ideal and prove that the kernal of a homomorphism from a ring R to a ring R' is an ideal of R.

आइडियल को परिभाषित करें और साबित करें कि रिंग R से रिंग R' तक होमोमोर्फिज्म का कर्नल R का एक आइडियल है ।

State and prove fundamental theorem on Homomorphism of Rings.

रिंगों के होमोमोर्फिज्म पर मौलिक प्रमेय को बताएं और साबित करें ।

Define Ring homomorphism and prove that the homomorphism f of R into R' is an isomorphism iff I(f) = { 0 } where I(f) = ker f

वलय समाकारिता को परिभाषित कीजिए और सिद्ध कीजिए कि R से R' में समरूपता f एक तुल्याकारिता है यदि I(f) = { 0 } जहाँ I(f) = ker f

Define Euclidean Ring and prove that every Euclidean ring is a principal ideal ring.

यूक्लिडियन रिंग को परिभाषित करें और साबित करें कि प्रत्येक यूक्लिडियन रिंग एक प्रमुख आदर्श रिंग है ।

State and prove Remainder theorem.

राज्य और शेष प्रमेय साबित करें ।

The set R [x] of all polynomials over an arbitrary ring (R, +,·) is a ring with respect to addition and multiplication of two polynomial.

एक मनमाना धूत (ring) (R, +,·) पर सभी बहुपदों का सेट R [x] दो बहुपदों के जोड़ और गुणा के संबंध में एक वृत्त (ring) है ।

Define unique factorization domain and prove that If R is a unique factorization domain then so is R [x].

The Eisentein Criterion Let f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ...... + aₙxⁿ be a polynomial with integer coefficient suppose that for some prime number p. p|a₀, p|a₁,.......p|aₙ then f(x) is irreducible over the field of rational numbers.

आइंस्टीन कसौटी मान लीजिए कि f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² .......... + aₙxⁿ पूर्णांक वाला एक बहुपद है, मान लीजिए कि किसी प्रवण संख्या p के लिए । p. p|a₀, p|a₁,.......p|aₙ तब f(x) परिमेय/संख्या के क्षेत्र में अप्रासंगिक है ।

State and prove Remainder theorem.