Real Complex Analysis - BU 2023 Question Paper

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RG-67

B.Sc.B.Ed. V^th Semester

Examination, 2023-24

Mathematics

5.1 : Real & Complex Analysis

Time : 3 Hours

Maximum Marks : 30

Note :- All questions are compulsory. Each question in section-A carries 4 marks and each question in section-B carries 2 marks. There is internal choice within question in section-A.

नोट: सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। खण्ड-A में प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का होता है और खण्ड-B में प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का होता है। खण्ड-A में प्रश्न के भीतर आंतरिक विकल्प दिया गया है।

Section - A

खण्ड-A

If $f \in R[a,b]$ and Let $M$ and $m$ are lower and upper bounds respectively of $f$ in $[a,b]$ Then.

$$m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a)$$

where $b \ge a$

यदि $f \in R [a, b]$ तब मान लो $M$ तथा $m$, $f$ के $[a, b]$ पर निम्न व उपरि परिबद्ध है तब

$$m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a)$$

जहाँ $b \ge a$

If $f \in R [a,b]$ and $a < c < b$ Then show that $f \in R [a,c]$ and $f \in R [c,b]$ and also.

$$\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$$

यदि $f \in R [a, b]$ तथा $a < c < b$ तब दर्शाइए, $f \in R [a, c]$ तथा $f \in R [c, b]$ तथा

$$\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$$

Examine the convergence of:

अभिसरण का परीक्षण करें :

(i)

$$\int_1^\infty x^{-x} dx$$

(ii)

$$\int_0^\infty \frac{e^{-x} \cos mx}{a^2 + x^2} dx$$

Show that

$$\int_0^\infty \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} dx = \log \frac{b}{a}$$

using it also show

$$\int_0^\infty \frac{\sin ax \sin bx}{x} dx = \frac{1}{2} \log \frac{a+b}{a-b}$$

दर्शाइए कि

$$\int_0^\infty \frac{\cos ax - \cos bx}{x} dx = \log \frac{b}{a}$$

इसका उपयोग कर

$$\int_0^\infty \frac{\sin ax \sin bx}{x} dx = \frac{1}{2} \log \frac{a+b}{a-b}$$

Find the fourier series of the function $f(x) = x \cos x$ in the interval $(-\pi, \pi)$.

फललन $f(x) = x \cos x$ के लिए अन्तराल $(-\pi, \pi)$ में फूरियर श्रेणी प्राप्द कीजिए।

Find the fourier series of the following function:

$f(x) = x^2, -\pi \le x \le \pi$

निम्नलिखित फलन की फूरियर श्रेणी प्राप्त कीजिए :

$f(x) = x^2, -\pi \le x \le \pi$

Find the Analytic functions $u + iv$ whose real part are:

विश्लेषिक फलन $u + iv$ को ज्ञात कीजिए जिसका वास्तविक भाग :

(i) $u = e^x (x \cos y - y \sin y)$

(ii) $u = y^3 - 3x^2y$

Write and prove Cauchy Integral formula.

कॉशी समाकल सूत्र लिखकर सिद्ध कीजिए।

Find a Mobius Transformation that maps the points $\{0, 1, \infty\}$ to $\{-1, -i, 1\}$

मोबियस रूपांतरण ज्ञात कीजिए जो विन्दु $\{0, 1, \infty\}$ को $\{-1, -i, 1\}$ पर भेजता है।

Find the fixed points of Transformations:

निम्न रूपान्तरण का नियत विन्दु ज्ञात कीजिए :

(i)

$$w = \frac{z-2}{z+3}$$

(ii)

$$w = \frac{z-5}{z+4}$$

Section - B

खण्ड-B

Write the statement of the fundamental theorem of Integral calculus.

समाकलन गणित की मूलभूत प्रमेय का कथन लिखिए।

Write the definition of Improper integral with examples.

विषम समाकलन की परिभाषा उदाहरण सहित दीजिए।

If $f(x,y) = e^{x+y}$ Then find the partial derivative $f_{xy}(0,0)$ and $f_{yx}(0,0)$.

यदि फलन $f(x,y) = e^{x+y}$ तो आंशिक अवकलज $f_{xy}(0,0)$ और $f_{yx}(0,0)$ ज्ञात कीजिए।

Using Cauchy Integral formula find the value of integral

$$\int_C \frac{z dz}{(z^2 - 9)(z+i)}$$

where $C$, is a circle $|z|=2$.

कॉशी समाकलन सूत्र से समाकल

$$\int_C \frac{z dz}{(z^2 - 9)(z+i)}$$

का मान ज्ञात कीजिए जहाँ $C$, $|z|=2$ द्वारा निर्देशित एक वृत्त है।

10.

Find the bilinear transformation using cross ratio which maps points $z=2, 1, 0$ on to the point $w=1, 0, i$.

सकल अनुपात का प्रयोग कर द्विरैखीय रूपांतरण ज्ञात कीजिए जो विन्दु $z=2, 1, 0$ को $w=1, 0, i$ पर भेजता है।