Abstract Algebra - BU 2023 Question Paper

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RG-68

B.Sc.B.Ed V^th Semester

Examination, 2023-24

Mathematics

5.2 : Abstract Algebra

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : 30

Note :- All questions carry equal marks. Attempt any two parts from each question.

नोट :- सभी प्रश्नों के अंक समान हैं। प्रत्येक प्रश्न के किन्हीं दो भागों के उत्तर दीजिए।

(a) Define conjugate class. Prove that N(a) is a sub group of G

संयुग्म वर्ग को परिभाषित करें सिद्ध करें कि N (a), G का एक उपसमूह है।

(b) If G be a finit group. The number of elements conjugate to a in G is the index of the normalizer of a in G; that is
यदि G एक परिमित समूह है। G में a से संयुग्मित तत्वों की संख्या G में a के सामान्यीकरण कर्ता का सूचकांक है, यह है

C_a = O(G)
     -----
     O(N(a))

ऑटोमॉर्फिज्म को परिभाषित करें। दिखाएँ कि a → a^-1 समूह ( का एक स्वकृतिकपन है यदि G आबेलीयन हो।

(a) If G be a finit group and let p be a prime. If P^m/O(G) an P^m+1 is a divisor of O(G). Then prove that G has subgroup of order p^m.

यदि G एक परिमित समूह है। और मान लीजिए कि p एक अभाज्य है। यदि P^m/O(G) और P^m+1, O(G) का भाजक है। फिर साबित करें कि G के पास क्रम p^m का एक उपसमूह है।

(b) State and prove Cauchy's Theorem for non-abelian Group.

नॉन-एबेलियन समूह के लिए कॉची (Cauchy's) प्रमेय बताएँ और सिद्ध करें।

यदि H समूह G और x ∈ G का p-सिलो उपसमूह है। तो साबित करें कि x H x^-1 भी G का p-सिलो उपसमूह है।

(a) Write creterions of subring. A ring R is without zero divisors if and only if the cancellation law hold in R.

सर्वरिंग के क्राइटेरियन लिखें। A वलय R शून्य विभाजक के बिना है यदि और केवल यदि कैंसिलेशन नियम R में लागू होता है।

(b) If f: R → R' is a homomorphism, then

यदि f : R → R' एक समरूपता है, तो

(i) f (0) = 0' where 0 is the ring R and 0' is the zero element

f (0) = 0' जहाँ 0 वलय R है और 0' शून्य तत्व है।

(ii) f (–a) = –f (a) ∀ a ∈ R

(a) Define Euclidean Ring Show that ring of integers is a Euclidean ring.

यूक्लिडियन रिंग को परिभाषित करें। दिखाएँ कि पूर्णांकों का रिंग एक यूक्लिडियन रिंग है।

(b) Define polynomial ring. If f(x) and g(x) be two non zero polynomials over an arbitrary ring R. Then

बहुपद वलय को परिभाषित करें। यदि f (x) और g (x) एक मनमाना रिंग R पर दो नॉन शून्य बहुपद हों

(i) deg [f (x) + g (x)] ≤ Max [deg f (x), deg g (x)]. If f (x) + g (x) ≠ 0

(ii) deg [f (x).g (x)] ≤ deg f (x) + deg g (x) iff f (x).g (x) ≠ 0

वलय की समरूपता पर मौलिक प्रमेय बताएँ और सिद्ध करें।

(a) If p is a prime number. Prove that the polynomial xⁿ–p is irreducible over the rational.

यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो साबित करें कि बहुपद xⁿ–p परिमेय पर अपरिवर्तनीय है।

(b) If (R, +, .) is an integral domain, then its polynomial ring (R [x], +, .) is also an integral domain.

यदि (R, +, .) एक अभिन्न डोमेन है, तो इसका बहुपद वलय (R [x], +, .) भी एक अभिन्न डोमेन है।

(c) If R is an integral domain with identity element. then those are those elements of only unit in R into R [x] which are unity in R.

यदि R पहचान तत्व के साथ एक अभिन्न डोमेन है, तो वे R में R [x] में एक मात्र इकाई के वे तत्व हैं जो R में एकता हैं।