Real Analysis-I - BU 2024 Question Paper

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QR-442

M.A./M.Sc. (Reg./Pvt./ATKT) Examination, 2024

(First Semester)

MATHEMATICS

Paper-II

Real Analysis-I

[Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : Reg. : 85

Pvt. : 100

खण्ड 'अ'

Section A

(वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

(Objective Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

Attempt all questions.

1.5×10=15

सही उत्तर का चयन कीजिए :

Choose the correct answer :

(i)

रीमान-स्टीलजेज़ समाकल $\int_{a}^{b} f d\alpha$ में :

(अ) $\alpha, [a, b]$ पर एकदिष्ट रूप से घटता हुआ तथा परिबद्ध फलन है

(ब) $\alpha, [a, b]$ पर एकदिष्ट रूप से बढ़ता हुआ परिबद्ध फलन है

(स) $\alpha$ स्थिर है

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

In the Riemann-Stieltjes Integral $\int_{a}^{b} f d\alpha$ :

(a) $\alpha$ is monotonically decreasing and bounded function on $[a, b]$

(b) $\alpha$ is monotonically increasing bounded function on $[a, b]$

(d) None of the above

(ii)

मान लीजिए $f(x) = x$ तथा $\alpha(x) = x^2$, तब $\int_{0}^{1} f d\alpha$ का मान है :

(अ) $\frac{4}{3}$

(ब) $\frac{2}{3}$

(स) $1$

(द) $0$

Let $f(x) = x$ and $\alpha(x) = x^2$, then the value of $\int_{0}^{1} f d\alpha$ is :

(a) $\frac{4}{3}$

(b) $\frac{2}{3}$

(d) $0$

(iii)

सदिश-मान वाले फलनों के समाकलन में $\int_{a}^{b} \vec{f} d\alpha$ है :

(अ) $R^k$ में बिंदु

(ब) $R^k$ में वक्र

(स) $R^k$ में स्पर्शरेखा

(द) $R^k$ में अभिलंब

In integration of vector-valued functions $\int_{a}^{b} \vec{f} d\alpha$ is :

(a) The point in $R^k$

(b) The curve in $R^k$

(d) The normal in $R^k$

(iv)

यदि चक्र $\gamma$ परिशोधनीय है तो :

(अ) $\Lambda_{\gamma} (\rho)$ अप्रतिबंधित है

(ब) $\Lambda_{\gamma} (\rho)$ एक सीधी रेखा है

(स) $\Lambda_{\gamma} (\rho)$ परिबद्ध है

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

If curve $\gamma$ is rectifiable then :

(a) $\Lambda_{\gamma} (\rho)$ is unbounded

(b) $\Lambda_{\gamma} (\rho)$ is a straight line

(d) None of the above

(v)

यदि फलनों का अनुक्रम $\{f_n\}, n=1, 2, 3, \ldots$ समुच्चय E पर समान रूप से अभिसारित होता है, तो वह है :

(अ) अपसारी भी

(ब) दोलनशील भी

(स) बिंदुवार अभिसारित भी

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

If a sequence of functions $\{f_n\}, n=1, 2, 3, \ldots$ converges uniformly on a set E then it is :

(a) Divergent also

(b) Oscillatory also

(d) None of the above

(vi)

$m=1, 2, 3, \ldots, n=1, 2, 3, \ldots$ के लिए माना $S_{m,n} = \frac{m}{m+n}$, तो प्रत्येक स्थिर $n$ के लिए, $\lim_{m \to \infty} S_{m,n}$ बराबर है :

(अ) $0$

(ब) $-1$

(स) $2$

(द) $1$

For $m=1, 2, 3, \ldots, n=1, 2, 3, \ldots$ let $S_{m,n} = \frac{m}{m+n}$ then for every fixed $n$, $\lim_{m \to \infty} S_{m,n}$ is equal to :

(a) $0$

(b) $-1$

(d) $1$

(vii)

एक समुच्चय E सदिश समष्टि X का आधार है यदि :

(अ) E, X को फैलाता है

(ब) E स्वतंत्र है

(स) E RS-एकीकृत है

(द) (अ) और (ब) दोनों

A set E is a basis of vector space X if :

(a) E spans X

(b) E is independent

(d) Both (a) and (b)

(viii)

यदि A, X पर एक रैखिक ऑपरेटर है जो एकैक है और X को X पर मैप करता है, तो A को कहा जाता है :

(अ) मूल

(ब) फैलाव

(स) रैखिक रूपांतरण

(द) व्युत्क्रमणीय

If A is a linear operator on X which is one-to-one and maps X onto X, then A is called :

(a) Basis

(b) Span

(d) Invertible

(ix)

मान लीजिए X एक दूरीक समष्टि है जिसकी दूरीक $d$ है । यदि $\phi$, X को X में मैप करता है और यदि कोई संख्या C < 1 है जैसे कि $d(\phi(x), \phi(y)) \le cd(x, y)$, $\forall x, y \in X$ तो $\phi$ को कहा जाता है :

(अ) पूर्ण दूरीक समष्टि

(ब) X का X में संकुचन

(स) संयुक्त समुच्चय

(द) निहित फंकशन प्रमेय

Let X be a metric space with metric $d$. If $\phi$ maps X into X and if there is a number C < 1 such that $d(\phi(x), \phi(y)) \le cd(x, y)$, $\forall x, y \in X$ then $\phi$ is said to be a :

(a) complete metric space

(b) Contraction of X into X

(d) Implicit function theorem

(x)

यदि $A \in L (R^n, R^m)$ और $B \in L (R^m, R^k)$ तो :

(अ) $\|BA\| \le \|B\| \|A\|$

(ब) $\|BA\| \le \|A\|$

(स) $\|BA\| \ge \|B\| \|A\|$

(द) $\|BA\| \ge \|B\|$

If $A \in L (R^n, R^m)$ and $B \in L (R^m, R^k)$ then :

(a) $\|BA\| \le \|B\| \|A\|$

(b) $\|BA\| \le \|A\|$

(d) $\|BA\| \ge \|B\|$

खण्ड 'ब'

Section B

(लघु उत्तरीय प्रश्न)

(Short Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

Attempt all questions.

5×5=25

मान लीजिए कि $f, \alpha : [a, b] \to R$ एक परिबद्ध फलन है और $\alpha$ एकदिष्ट वृद्धि करता है । तो सिद्ध कीजिए कि किन्हीं दो विभाजन $P_1$ और $P_2 \in [a, b]$ के लिए :

$L(P_1, f, \alpha) \le U(P_2, f, \alpha)$

$L(P_2, f, \alpha) \le U(P_1, f, \alpha)$

Let $f, \alpha : [a, b] \to R$ be a bounded function and $\alpha$ be monotonically increasing. Then prove that for any two partitions $P_1$ and $P_2 \in [a, b]$ :

$L(P_1, f, \alpha) \le U(P_2, f, \alpha)$

$L(P_2, f, \alpha) \le U(P_1, f, \alpha)$

अथवा (Or)

यदि $f, [a, b]$ पर सतत् है तो सिद्ध कीजिए कि $f \in R(\alpha)$ on $[a, b]$ ।

If $f$ is continuous on $[a, b]$ then prove that $f \in R(\alpha)$ on $[a, b]$.

सदिश-मूल्यवान फलन के समाकलन की व्याख्या कीजिए।

Explain integration of vector-valued function.

अथवा (Or)

एक उदाहरण के साथ श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्था को परिभाषित कीजिए।

Define rearrangement of terms of a series with one example.

मान लीजिए कि $\{M_n\}$ दूरीक समष्टि X पर परिभाषित फलनों का एक अनुक्रम है । मान लीजिए कि $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \forall x \in X$ और $M_n = \text{Sup} \{|f_n(x) - f(x)| : x \in X\}$. तब सिद्ध कीजिए कि $\{f_n\}$ F में समान रूप से अभिसारित होता है यदि और केवल यदि $M_n \to 0$ के रूप में $n \to \infty$ है ।

Let $\{M_n\}$ be a sequence of functions defined on metric space X. Let $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \forall x \in X$ and let $M_n = \text{Sup} \{|f_n(x) - f(x)| : x \in X\}$. Then prove that $\{f_n\}$ converges uniformly to $f$ if and only if $M_n \to 0$ as $n \to \infty$.

अथवा (Or)

बिंदुवार और समान अभिसारी को परिभाषित कीजिए और सिद्ध कीजिए कि यदि $f_n(x) = \frac{\sin nx}{\sqrt{n}}$ ($x$ वास्तविक, $n=1, 2, 3, \ldots$), तो $f_n'(x)$, $f'$ में अभिसारित नहीं होता है ।

Define point-wise and uniform convergent and prove that if $f_n(x) = \frac{\sin nx}{\sqrt{n}}$ ($x$ real, $n=1, 2, 3, \ldots$) then $f_n'(x)$ does not converge to $f'$.

निम्नलिखित में से किन्हीं दो को परिभाषित कीजिए :

(i)

रैखिक संयोजन

(ii)

रैखिक परिवर्तन

(iii)

निरंतर अवकलनीय फंकशन ।

Define any two of the following :

(i)

Linear combination

(ii)

Linear Transformation

(iii)

Continuously differentiable function.

अथवा (Or)

मान लीजिए कि $f$ एक उत्तल विवृत समुच्चय $E \subset R^n$ को $R^m$ में मैप करता है, $f$, E में अवकलनीय है, और एक वास्तविक संख्या M है जैसे कि प्रत्येक $x \in E$ के लिए $\|f'(x)\| \le M$ है । सिद्ध कीजिए कि :

$\|f(b) - f(a)\| \le M\|b - a\| \forall a, b \in E$

Suppose $f$ maps a convex open set $E \subset R^n$ into $R^m$, $f$ is differentiable in E, and there is a real number M such that $\|f'(x)\| \le M$ for every $x \in E$. Then prove that :

$\|f(b) - f(a)\| \le M\|b - a\| \forall a, b \in E$.

घात श्रृंखला $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{\sqrt{n+1}}$ के अभिसरण की त्रिज्या R ज्ञात कीजिए ।

Find the radius of convergence R of the power series $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{\sqrt{n+1}}$.

अथवा (Or)

मान लीजिए कि $A \in L(R^n, R^m)$ और $A_x$ व्युत्क्रमणीय है । फिर प्रत्येक $K \in R^m$ के लिए एक अद्वितीय $h \in R^n$ होता है जैसे कि $A(h, K) = 0$ । फिर सिद्ध कीजिए कि $h$ की गणना $K$ से सूत्र $h = -(A_x)^{-1} A_y K$ द्वारा की जा सकती है ।

Let $A \in L(R^n, R^m)$ and $A_x$ be invertible. Then there corresponds to every $K \in R^m$ a unique $h \in R^n$ such that $A(h, K) = 0$. Then prove that $h$ can be computed from $K$ by the formula $h = -(A_x)^{-1} A_y K$.

खण्ड 'स'

Section C

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)

(Long Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

Attempt all questions.

9×5=45

मान लीजिए $f \in R(\alpha)$, $[a, b]$ पर है यदि और केवल यदि प्रत्येक $\epsilon > 0$ के लिए एक विभाजन P का अस्तित्व है जैसे कि $U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) < \epsilon$, तो सिद्ध कीजिए कि :

(i)

P = {$x_0, x_1, \ldots, x_n$} के लिए और $S_i, t_i \in [x_{i-1}, x_i]$ में स्वेच्छिक बिंदु है तो

$\sum_{i=1}^{n} |f(S_i) - f(t_i)| \Delta\alpha_i < \epsilon$.

(ii)

यदि $f \in R(\alpha)$ और परिकल्पनाएँ मान्य है, तो :

$\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta\alpha_i - \int_{a}^{b} f d\alpha\right| < \epsilon$.

Let $f \in R(\alpha)$ on $[a, b]$ if and only if for every $\epsilon > 0$ there exists a partition P such that $U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) < \epsilon$. Then prove that :

(i)

For $P = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ and $S_i, t_i$ are arbitrary points in $[x_{i-1}, x_i]$ then

$\sum_{i=1}^{n} |f(S_i) - f(t_i)| \Delta\alpha_i < \epsilon$.

(ii)

If $f \in R(\alpha)$ and the hypotheses of hold, then :

$\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta\alpha_i - \int_{a}^{b} f d\alpha\right| < \epsilon$.

अथवा (Or)

मान लीजिए $f \in R(\alpha)$ अंतराल $[a, b]$ पर है तो सिद्ध कीजिए कि :

$m(\alpha(b) - \alpha(a)) \le \int_{a}^{b} f d\alpha \le M(\alpha(b) - \alpha(a))$

जहाँ m और M फलन $f$ की सीमाएँ हैं ।

Let $f \in R(\alpha)$ on the interval $[a, b]$ then prove that :

$m(\alpha(b) - \alpha(a)) \le \int_{a}^{b} f d\alpha \le M(\alpha(b) - \alpha(a))$

where m and M are bounds of the function $f$.

यदि $f, [a, b]$ को $R^k$ में मैप करता है और यदि $f \in R(\alpha)$, $[a, b]$ पर कुछ एकदिष्ट वृद्धि फलन $\alpha$ के लिए है, तो सिद्ध कीजिए कि $\|f\| \in R(\alpha)$ और

$\left|\int_{a}^{b} f d\alpha\right| \le \int_{a}^{b} |f| d\alpha$.

If $f$ maps $[a, b]$ into $R^k$ and if $f \in R(\alpha)$ for some monotonically increasing function $\alpha$ on $[a, b]$, then prove that $\|f\| \in R(\alpha)$ and

$\left|\int_{a}^{b} f d\alpha\right| \le \int_{a}^{b} |f| d\alpha$.

अथवा (Or)

यदि $\gamma'$ क्रमागत on $[a, b]$ है तो सिद्ध कीजिए कि $\gamma$ परिशोधनीय है और $\Lambda(\gamma) = \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| dt$ ।

If $\gamma'$ continuous on $[a, b]$ then prove that $\gamma$ is rectifiable and $\Lambda(\gamma) = \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| dt$.

सिद्ध कीजिए कि फलन $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ की श्रेणी X पर समान रूप से अभिसारित होगी यदि सकारात्मक स्थिरांकों की एक अभिसारी श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} M_n$ मौजूद है जैसे कि $|u_n(x)| \le M_n$ सभी $n$ और $x \in X$ के लिए यह भी दिखाइए कि श्रेणी $\frac{\cos x}{p} + \frac{\cos 2x}{p^2} + \ldots + \frac{\cos nx}{p^n} + \ldots$ $p > 1$ के लिए R पर समान रूप से अभिसारित होती है ।

Prove that series of function $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ will converge uniformly on X if there exists a convergent series $\sum_{n=1}^{\infty} M_n$ of positive constants such that $|u_n(x)| \le M_n$ for all $n$ and $x \in X$. Also show that the series $\frac{\cos x}{p} + \frac{\cos 2x}{p^2} + \ldots + \frac{\cos nx}{p^n} + \ldots$ converges uniformly on R for $p > 1$.

अथवा (Or)

मान लीजिए $\{f_n\}$ फलनों का एक अनुक्रम है, जो $[a, b]$ पर अवकलनीय है और जैसे कि $\{f_n(x_0)\}$ $[a, b]$ पर किसी बिंदु $x_0$ के लिए अभिसारित होता है । यदि $\{f_n'\}$ $[a, b]$ पर समान रूप से अभिसारित होता है, तो सिद्ध कीजिए कि $\{f_n\}$ एक फलन $f$ और $f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_n'(x)$ $(a \le x, y \le b)$ पर $[a, b]$ पर समान रूप से अभिसारित होता है ।

Suppose $\{f_n\}$ is a sequence of functions, differentiable on $[a, b]$ and such that $\{f_n(x_0)\}$ converges for some point $x_0$ on $[a, b]$. If $\{f_n'\}$ converges uniformly on $[a, b]$, then prove that $\{f_n\}$ converges uniformly on $[a, b]$ to a function $f$ and $f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_n'(x)$ ($a \le x \le b$).

10.

मान लीजिए कि $\Omega, R^n$ पर सभी व्युत्क्रमणीय रैखिक ऑपरेटर का समुच्चय है, तो सिद्ध कीजिए कि :

(अ)

यदि $A \in \Omega$ और $B \in L(R^n)$ और $\|B - A\| \|A^{-1}\| < 1$ तब $B \in \Omega$ ।

(ब)

$\Omega, L(R^n)$ में संवृत्त उपसमुच्चय है और मैपिंग $f : \Omega \to \Omega$, जिसे $f(A) = A^{-1}$ द्वारा परिभाषित किया गया है सभी $A \in \Omega$ के लिए सतत है ।

Let $\Omega$ be the set of all invertible linear operators on $R^n$, then prove that :

(a)

If $A \in \Omega$ and $B \in L(R^n)$ and $\|B - A\| \|A^{-1}\| < 1$ then $B \in \Omega$.

(b)

$\Omega$ is open subset in $L(R^n)$ and the mapping $f : \Omega \to \Omega$ defined by $f(A) = A^{-1}$ for all $A \in \Omega$ is continuous.

अथवा (Or)

मान लीजिए कि E, $R^n$ में एक संवृत्त समुच्चय है, $f, E$ को $R^m$ में मैप करता है और $x \in E$ और $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x) - A_1 h}{|h|} = 0$, $A=A_1$ और $A_1 = A_2$ के साथ मान्य है तो सिद्ध कीजिए कि $A_1 = A_2$ ।

Let E be an open set in $R^n$, $f$ maps E into $R^m$ and $x \in E$ and $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x) - A_1 h}{|h|} = 0$ holds with $A=A_1$ and with $A=A_2$, then prove that $A_1 = A_2$.

11.

यदि $\lim_{n \to \infty} n a_n = 0$ और $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ के साथ $\lim_{n \to \infty} f(x) = S$ है, तो सिद्ध कीजिए कि श्रेणी $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ S पर अभिसारित होती है ।

If $\lim_{n \to \infty} n a_n = 0$ and $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ with $\lim_{n \to \infty} f(x) = S$, then prove that the series $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ converges to S.

अथवा (Or)

मान लीजिए कि $f$ एक संवृत्त समुच्चय $E \subset R^2$ में परिभाषित है और $D_1f$ और $D_2f$, E के प्रत्येक बिंदु पर मौजूद है । मान लीजिए Q $\subset$ E एक विवृत आयत है जिसकी भुजाएँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर है, जिसके विपरीत शीर्ष $(a, b)$ और $(a+h, b+k)$ $(h \ne 0, k \ne 0)$ $\Delta(f, Q) = f(a+h, b+k) - f(a+h, b) - f(a, b+k) + f(a, b)$ है । फिर सिद्ध कीजिए कि Q के अभ्यंतर में एक बिंदु $(x, y)$ है जैसे कि $\Delta(f, Q) = hk(D_{21}f)(x, y)$ ।

Suppose $f$ is defined in an open set $E \subset R^2$ and $D_1f$ and $D_2f$ exist at every point of E. Suppose Q $\subset$ E is a closed rectangle with sides parallel to the coordinate axes, having $(a, b)$ and $(a+h, b+k)$ as opposite vertices $(h \ne 0, k \ne 0)$. Put $\Delta(f, Q) = f(a+h, b+k) - f(a+h, b) - f(a, b+k) + f(a, b)$. Then prove that there is a point $(x, y)$ in the interior of Q such that $\Delta(f, Q) = hk(D_{21}f)(x, y)$.