Advanced Abstract Algebra - BU 2024 Question Paper

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M.A./M.Sc. (REG/PVT./ATKT)

Examination, 2024

(First Semester)

MATHEMATICS

Paper-I

Advanced Abstract Algebra

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : Reg.: 85

Pvt.: 100

नोट : सभी खण्ड अनिवार्य हैं ।

All Sections are compulsory.

नोट : सभी प्रश्न हल कीजिए । Attempt all questions. 5×2=10

सही उत्तर का चयन कीजिए : Choose the correct answer :

(i)

किसी आबेली समूह G की एक संयोजन श्रृंखला होती है यदि और केवल यदि G है : A composition series of an abelian group G exists if and only if G is :

(अ) परिमित (Finite)

(ब) अनंत (Infinite)

(स) गणनीय (Countable)

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं (None of the above)

(ii)

निम्नलिखित में से कौनसा हल करने योग्य नहीं है ? Which of the following is not a solvable ?

(अ) n ≤ 5 के लिए S_n (S_n for n ≤ 5)

(ब) आबेली समूह (Abelian group)

(स) डाइहेड्रल समूह D_n (Dihedral group D_n)

(द) n ≥ 5 के लिए S_n (S_n for n ≥ 5)

(iii)

यदि F, E का उपक्षेत्र है, तो E को F का बीजागणितीय संकुल कहा जाता है, यदि : If F is a subfield of E, then E is called algebraic closure of F if :

(अ) E, F का बीजागणितीय विस्तार है (E is an algebraic extension of F)

(ब) E बीजागणितीय संवृत है (E is algebraically closed)

(स) दोनों (अ) और (ब) (Both (a) and (b))

(द) या तो (अ) अथवा (ब) (Either (a) or (b))

(iv)

यदि E किसी क्षेत्र का परिमित विस्तार है, तो : If E is finite extension of a field, then :

(अ) |G(E/F)| ≤ [E:F]

(ब) |G(E/F)| ≥ [E:F]

(स) |G(E/F)| = 1

(द) |G(E/F)| ≤ [F:E]

(v)

किसी क्षेत्र को अभाज्य कहा जाता है, यदि उसमें : A field is called prime if it has :

(अ) उचित उपक्षेत्र हो (Proper subfield)

(ब) कोई उचित उपक्षेत्र नहीं हो (No proper subfield)

(स) उपक्षेत्र हो (Subfield)

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं (None of the above)

खण्ड 'ब'

Section B

(लघु उत्तरीय प्रश्न)

(Short Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्न हल कीजिए । Attempt all questions. 5×5=25

संयोजन श्रृंखला को परिभाषित कीजिए और Z/(18) के लिए संयोजन श्रृंखला लिखिए । Define composition series and write down composition series for Z/(18).

अथवा (Or) दर्शाइए कि पूर्णांकों के समूह Z में कोई संयोजन श्रृंखला नहीं है । Show that the group of integers Z has no composition series.

सिद्ध कीजिए कि G की प्रत्येक समरूपा छवि हल करने योग्य है । Prove that every homomorphic image of G is solvable.

अथवा (Or) यदि G कोई शून्यभावी समूह है, तो दर्शाइए कि यह हल करने योग्य है । If G is any nilpotent group then show that it is solvable.

यदि F ⊂ K ⊂ E तीन क्षेत्र हैं जैसे कि K, F का बीजागणितीय विस्तार है और α ∈ E, K पर बीजागणितीय है, तो दर्शाइए कि α, F पर बीजागणितीय है । If F ⊂ K ⊂ E are three fields such that K is an algebraic extension of F and α ∈ E is algebraic over K. Then show that α is algebraic over F.

अथवा (Or) यदि f(x) ∈ F[x] एक बहुपद है जिसकी घात ≥ 1 है तथा जिसका मूल α है, तो दर्शाइए कि α एक गुणज मूल f(x) है यदि और केवल यदि f'(α)=0 है । If f(x) ∈ F[x] is a polynomial of degree ≥ 1 with α as a root, then show that α is a multiple root f(x) if and only if f'(α)=0.

बीजागणितीय संवृत क्षेत्र को परिभाषित कीजिए । यदि K, बीजागणितीय संवृत क्षेत्र है, तो सिद्ध कीजिए कि K[X] में अपरिवर्तनीय बहुपद की घात 1 है । Define Algebraically closed field. If K is algebraically closed field then prove that irreducible polynomial in K[X] is of degree 1.

अथवा (Or) सिद्ध कीजिए कि अभाज्य क्षेत्र F तो Q के समरूप है या Z/P के समरूप है, (अभाज्य P के लिए) । Prove that the prime field F is either isomorphic to Q or to Z/(P), (for prime P).

सिद्ध कीजिए कि स्थिर क्षेत्र E_H, E का उपक्षेत्र है । Prove that fixed field E_H, is a subfield of E.

अथवा (Or) F पर बहुपद f(x) के गैलोइस समूह को परिभाषित कीजिए । गैलोइस विस्तार को भी परिभाषित कीजिए । Define Galois group of polynomial f(x) over F. Also define Galois extension.

खण्ड 'स'

Section C

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)

(Long Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्न हल कीजिए । Attempt all questions. 5×10=50

जॉर्डन-होल्डर प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए । State and prove Jordan-Holder theorem.

अथवा (Or) यदि किसी चक्रीय समूह में ठीक एक संयोजन श्रृंखला है, तो दर्शाइए कि यह एक P-समूह है । If a cyclic group has exactly one composition series then show that it is a P-group.

सिद्ध कीजिए कि एक परिमित समूह हल योग्य है, यदि और केवल यदि उसके संयोजन कारक चक्रीय समूह के क्रम हैं । Prove that a finite group is solvable if and only if its composition factors are cyclic groups of prime order.

अथवा (Or) यदि G एक शून्यभावी समूह है, तो निम्न को सिद्ध कीजिए : If G is a nilpotent group then prove the following :

(i) G का प्रत्येक उपसमूह शून्यभावी है (Every subgroup of G is nilpotent)

(ii) G का प्रत्येक समरूपी प्रतिबिंब शून्यभावी है । (Every homomorphic image of G is nilpotent.)

यदि E, F का विस्तार है और α ∈ E, F पर बीजागणितीय है, तो सिद्ध कीजिए कि F(α) का बीजागणितीय विस्तार है । If E is an extension of F and α ∈ E is algebraic over F then prove that F(α) is an algebraic extension of F.

अथवा (Or) सिद्ध कीजिए कि क्षेत्र F का परिमित पृथक्करण विस्तार F का सरल विस्तार है । Prove that a finite separable extension of a field F is simple extension of F.

10.

यदि E क्षेत्र F का बीजागणितीय विस्तार है और σ : F → L एक एम्बेडिंग है, तो सिद्ध कीजिए कि σ को E → L तक बढ़ाया जा सकता है । If E is an algebraic extension of a field F and σ : F → L is an embedding of F into an algebraically closed field L. Then prove that σ can be extended to an embedding η : E → L.

अथवा (Or) सिद्ध कीजिए कि परिमित क्षेत्र के शून्यतर तत्वों का गुणन समूह चक्रीय होता है । Prove that the multiplicative group of non-zero elements of a finite field is cyclic.

11.

बीजागणित के मूलभूत सिद्धांत को बताइए और सिद्ध कीजिए । State and prove fundamental theorem of algebra.

अथवा (Or) दर्शाइए कि बहुपद x⁷ - 10x⁵ + 15x + 5, Q पर मूलकों द्वारा हल करने योग्य नहीं है । Show that the polynomial x⁷ - 10x⁵ + 15x + 5 is not solvable by radicals over Q.