Advanced Discrete Mathematics-I - BU 2024 Question Paper

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M. A./M. Sc. (Reg./Pvt./ATKT)
Examination, 2024
(First Semester)

MATHEMATICS

Fifth Paper (Optional I)

Advanced Discrete Mathematics-I

Time : 3 Hours

[Maximum Marks : 85]

नोट : सभी प्रश्न अनिवार्य हैं ।

All questions are compulsory.

खण्ड 'अ'

Section A

(बहुविकल्पीय प्रश्न)

(Objective Type Questions)

3x5=15

सही उत्तर का चयन कीजिए :

Choose the correct answer :

(i) निम्न में से कौनसा कथन समो धनलाभक प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N = {1, 2, .....} के लिए सत्य है, बशर्ते कि अर्ध-समूह दिया गया हो ?

Which of the following statements is true for the set N = {1, 2, .....} of all positive natural numbers given the semi-group ?

(a) योग के अंतर्गत अर्ध-समूह (N, +) Semi-group (N, +) under addition

(b) गुणन के अंतर्गत अर्ध-समूह (N, .) Semi-group (N, .) under multiplication

(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं None of the above

(ii) मान लीजिए (L, ≤) एक जालक है, तो a, b ∈ L, के लिए निम्न में से कौनसा सत्य है ?

Suppose (L, ≤) be a lattice, then for a, b ∈ L, which of the following is true ?

(a) a ∧ b = a ∨ b

(b) a ∧ (a ∨ b) = a

(d) a ∨ (a ∧ b) = b

(iii) n चरों में न्यूनतम बूलियन फलनों की संख्या है:

The number of minimal Boolean functions in n variables is :

(a) n + 1

(b) 2n

(d) n

(iv) मान लीजिए कि G एक वन है जिसमें n कोने और K घटक हैं, तो G में हैं :

Let G be a forest with n vertices and K components, then G has :

(a) n + k किनारे n + k edges

(b) n - k किनारे n - k edges

(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं None of the above

(v) पूर्ण द्विदलीय ग्राफ में निम्नलिखित में से कौनसा कथन सही है ?

In a complete bipartite graph which of the following statements is correct ?

(a) प्रत्येक भाग में प्रत्येक शीर्ष दूसरे भाग में एक शीर्ष के समीप होता है । Every vertex in each part is adjacent to a vertex in the other part.

(b) एक ही भाग में किन्ही भी दो शीर्षों के बीच दो किनारे होते हैं । Any two vertices in the same part have two edges between them.

(d) उपर्युक्त सभी All of the above

खण्ड 'ब'

Section B

(लघु उत्तरीय प्रश्न)

(Short Answer Type Questions)

5x5=25

अर्ध-समूह समरूपता की अवधारणा को उदाहरण सहित समझाइए ।

Explain the concept of semi-group homomorphism with example.

अथवा (Or)

सर्वांगसमता संबंध की अवधारणा को उदाहरण सहित समझाइए ।

Explain the concept of congruence relation with example.

उपजालक की अवधारणा को उदाहरण सहित समझाइए ।

Explain the concept of sublattice with example.

अथवा (Or)

बाँधित जालकों की अवधारणा को उदाहरण सहित समझाइए ।

Explain the concept of bounded lattices with example.

विविक्त गणित में बूलियन बीजगणित की अवधारणा को समझाइए । इसके उपयोग लिखिए ।

Explain the concept of Boolean algebra in discrete mathematics. Write its uses.

अथवा (Or)

बूलियन बीजगणित की चार संक्रियाएँ लिखिए ।

Write the four Boolean algebra operations.

निम्नलिखित को आरेख सहित परिभाषित कीजिए :

Define the following with diagram :

(a) जुड़े हुए ग्राफ Connected graphs

(b) यूलर ग्राफ । Euler graphs.

अथवा (Or)

निम्नलिखित को आरेख सहित परिभाषित कीजिए :

Define the following with diagram :

(a) भारित ग्राफ Weighted graphs

(b) बाइनरी ट्री । Binary trees.

कुराटोवस्की के दो ग्राफ K₅, K₃,₃ बनाइए ।

Draw Kuratowski's two graphs K₅, K₃,₃.

अथवा (Or)

आरेख सहित निम्नलिखित ग्राफों की अवधारणा की व्याख्या कीजिए :

Explain the concept of the following graphs with diagrams :

(a) प्लानर ग्राफ Planar graphs

(b) पूर्ण द्विदलीय ग्राफ । Complete bipartite graphs.

खण्ड 'स'

Section C

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)

(Long Answer Type Questions)

5x9=45

निम्नलिखित की अवधारणा का उदाहरण सहित वर्णन कीजिए :

Explain the concept of the following with examples :

(a) सेमीग्रुप Semigroups

(b) मोनॉइड्स Monoids

अथवा (Or)

मूल होमोमोर्फिज्म प्रमेय को बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Basic Homomorphism Theorem.

जालक की अवधारणा की व्याख्या कीजिए । उदाहरण के साथ आंशिक जालक की व्याख्या कीजिए । जालक को बीजीय संरचना के रूप में भी समझाइए ।

Explain the concept of Lattice. Explain with example the partial lattice. Also explain the lattice as an algebraic structure.

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि वितरण जालक में यदि किसी तत्व का पूरक है, तो पूरक अद्वितीय है ।

Prove that in a distributive lattice, if an element has a complement, then complement is unique.

स्विचिंग सिद्धांत को विकसित करने के लिए कर्नाघ विधि का उदाहरण के साथ वर्णन कीजिए ।

Describe the Karnaugh method to developing the switching theory with example.

अथवा (Or)

बूलियन फक्शन के न्यूनतमकरण की विधि का वर्णन कीजिए । इसका महत्व लिखिए ।

Describe the method of minimization of Boolean functions. Write its significance.

10.

उदाहरणों के साथ ट्री की अवधारणा को समझाइए । सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक ट्री का एक केंद्र होता है जिसमें या तो एक बिंदु या दो आसन्न बिंदु होते हैं ।

Explain the concept of Tree with examples. Prove that every tree has a center consisting of either one point or two adjacent points.

अथवा (Or)

स्पैनिंग ट्री की अवधारणा को समझाइए । सिद्ध कीजिए कि किसी जुड़े हुए समूह G का चक्र रैंक G में किसी भी स्पैनिंग ट्री की जीवाओं की संख्या के बराबर होता है ।

Explain the concept of spanning trees. Prove that the cycle rank of a connected group G is equal to the number of chords of any spanning tree in G.

11.

निम्नलिखित को उदाहरणों के साथ परिभाषित कीजिए :

Define the following with examples :

(अ) पृथक्करणीयता Separability

(ब) कनेक्टिविटी Connectivity

(स) कट सेट । Cut sets.

अथवा (Or)

उदाहरणों के साथ निम्नलिखित को परिभाषित कीजिए :

Define the following with examples :

(अ) सर्किट Circuits

(ब) लाइन कनेक्टिविटी Line Connectivity

(स) अधिकतम कनेक्टिविटी । Maximum Connectivity.