Functional Analysis - BU 2024 Question Paper

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M.A./M.Sc. (Reg./Pvt./ATKT) Examination, 2024

(Third Semester)

MATHEMATICS

Paper-I

Functional Analysis

Time : 3 Hours] [Maximum Marks : 85]

खण्ड 'अ'

Section A

(बहुविकल्प प्रश्न)

(Objective Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । 5×2=10

Attempt all questions.

(i)

यदि (X, || . ||) एक सामान्य रैखिक स्पेस है तो :
If (X, || . ||) is a normal linear space then :

(अ) ||x-y|| ≤ ||x-y||
(a) ||x-y|| ≤ ||x-y||

(ब) ||x-y|| < ||x-y||
(b) ||x-y|| < ||x-y||

(स) दोनों (अ) और (ब)
(c) Both (a) and (b)

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं
(d) None of the above

(ii)

मीट्रिक स्पेस X के कॉम्पैक्ट उपसमुह M का R में सतत मैपिंग T अधिकतम और न्यूनतम मान लेता है :
A continuous mapping T of a compact subset M of a metric space X into R assumes a maximum and minimum :

(अ) M के प्रत्येक बिंदु पर
(a) at every point of M

(ब) M के कुछ बिंदुओं पर
(b) at some points of M

(स) M के सभी बिंदुओं पर
(c) at all points of M

(द) M के किसी भी बिंदु पर नहीं
(d) at no points of M

(iii)

यदि T एक रैखिक ऑपरेटर है और dim D(T) = n है तो :
If T is a linear operator and dim D(T) = n then :

(अ) dim R(T) ≤ n
(a) dim R(T) ≤ n

(ब) dim R(T) = n
(b) dim R(T) = n

(स) dim R(T) > n
(c) dim R(T) > n

(द) dim R(T) = ∞
(d) dim R(T) = ∞

(iv)

का द्वैत स्पेस ..................................... है ।
The dual space of ..................................... is .

(अ) Rⁿ, Rⁿ
(a) Rⁿ is Rⁿ

(ब) l¹, l^∞
(b) l¹ is l^∞

(स) दोनों (अ) और (ब)
(c) Both (a) and (b)

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं
(d) None of the above

(v)

निम्नलिखित में से कौनसा हिल्बर्ट स्पेस नहीं है ?
Which of the following is not Hilbert space ?

(अ) यूक्लिडियन स्पेस
(a) Euclidean space

(ब) यूनीटरी स्पेस
(b) Unitary space

(स) स्पेस l²
(c) The space l²

(द) स्पेस l^p
(d) The space l^p

खण्ड 'ब'

Section B

(लघु उत्तरीय प्रश्न)

(Short Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । 5×5=25

Attempt all questions.

बनाख स्पेस को एक उदाहरण के साथ परिभाषित कीजिए ।
Define Banach space with an example.

सिद्ध कीजिए कि एक मानक स्पेस X का प्रत्येक परिमित आयामी उप-स्पेस Y, X में संवृत है ।
Prove that every finite dimensional subspace Y of a normed space X is closed in X.

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि एक परिमित आयामी सदिश स्पेस X पर कोई भी मानक || . || किसी भी अन्य मानक || . ||₀ के बराबर है ।
Prove that on a finite dimensional vector space X any norm || . || is equivalent to any other norm || . ||₀.

यदि T एक सदिश स्पेस X पर एक सदिश स्पेस Y में एक रैखिक ऑपरेटर n है, तब सिद्ध कीजिए कि N(T) एक सदिश स्पेस है ।
If T is a linear operator on a vector space X into a vector space Y, then prove that N(T) is a vector space.

अथवा (Or)

यदि T एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है, तब सिद्ध कीजिए कि शून्य स्पेस N(T) बंद है ।
If T is a bounded linear operator, then prove that the null space N(T) is closed.

द्वितीय बीजीय द्वैत स्पेस को परिभाषित कीजिए ।
Define second algebraic dual space.

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि एक ऑर्थोनॉर्मल समुच्चय रैखिकरूप से स्वतंत्र है ।
Prove that an orthonormal set is linearity independent.

खण्ड 'स'

Section C

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)

(Long Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । 10×5=50

Attempt all questions.

यदि एक आंतरिक गुणन समष्टि में x_n → x और y_n → y, तो सिद्ध कीजिए कि :
If in an inner product space x_n → x and y_n → y, then prove that :

<x_n, y_n> → <x, y>

यदि {x₁, x₂,.....,x_n} एक मानक समष्टि X में सदिशों का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय है, तो सिद्ध कीजिए कि एक संख्या c > 0 है जैसे कि आदेशों α₁, α₂, α₃,......,α_n के प्रत्येक विकल्प के लिए
If {x₁, x₂,.....,x_n} is a linearly independent set of vectors in a normed space X, then prove that there is a number c > 0 such that for every choice of scalars α₁, α₂, α₃,......,α_n:

||α₁x₁ + α₂x₂ +........+ α_nx_n|| ≥ C(|α₁| + |α₂| +.......+ |α_n|)

जहाँ c > 0 ।
where c > 0.

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि एक परिमित आयामी मानक स्पेस X में कोई भी उपसमुह M ⊂ X कॉम्पैक्ट है यदि और केवल यदि M संवृत और परिबद्ध है ।
Prove that in a finite dimensional normed space X any subset M ⊂ X is compact if and only if M is closed and bounded.

रीज की प्रमेयिका बताइए और सिद्ध कीजिए ।
State and prove Riesz's lemma.

अथवा (Or)

यदि X और Y मीट्रिक स्पेस है और T : X → Y एक सतत मैपिंग है, तो सिद्ध कीजिए कि T के अंतर्गत X के कॉम्पैक्ट उपसमुह M का प्रतिबिंब कॉम्पैक्ट है ।
If X and Y are metric spaces and T : X → Y a continuous mapping, then prove that image of a compact subset M of X under T is compact.

यदि T एक वेक्टर स्पेस X पर एक वेक्टर Y में एक रैखिक ऑपरेटर है, तो सिद्ध कीजिए कि :
If T is a linear operator onto a vector space X into a vector Y, then prove that :

(i) R(T) एक वेक्टर स्पेस है ।
(i) R(T) is a vector space.

(ii) यदि dim D(T) = n < ∞, तो dim R(T) ≤ n ।
(ii) If dim D(T) = n < ∞, then dim R(T) ≤ n.

अथवा (Or)

यदि T : D(T) → Y एक रैखिक ऑपरेटर है जहाँ D(T) ⊂ X और X, Y मानक स्पेस हैं, तब दिखाइए कि T सतत है यदि और केवल यदि T परिबद्ध है ।
If T : D(T) → Y is a linear operator where D(T) ⊂ X and X, Y are normed spaces, then show that T is continuous if and only if T is bounded.

10.

यदि X मानक समष्टि है, Y बनाख स्थान है, तो दिखाइए कि समष्टि B(X, Y) बनाख समष्टि है ।
If X is normed space, Y is Banach space, then show that the space B(X, Y) is a Banach space.

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि एक परिमित आयामी सदिश समष्टि बीजगणितीय रूप से रिफ्लेक्सिव है ।
Prove that a finite dimensional vector space is algebraically reflexive.

11.

श्वार्ज असमानता को बताइए और सिद्ध कीजिए ।
State and prove Schwarz inequality.

अथवा (Or)

यदि H₁ और H₂ हिल्बर्ट समष्टियाँ हैं और h : H₁ × H₂ → K एक परिबद्ध सेसक्वीलिनियर रूप है, तो सिद्ध कीजिए कि h का निरूपण h(x, y) = <Sx, y> है, जहाँ S : H₁ → H₂ एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है । यह भी सिद्ध कीजिए कि S विशिष्ट रूप से h द्वारा निर्धारित होता है और इसका नॉर्म || S || = || h || है ।
If H₁ and H₂ are Hilbert spaces and h : H₁ × H₂ → K a bounded sesquilinear form, then prove that h has a representation h(x, y) = <Sx, y>, where S : H₁ → H₂ is a bounded linear operator. Also prove that S is uniquely determined by h and has norm || S || = || h ||.

(3-N24-08/13) N-QR-457(TR) P.T.O.

N-QR-457(TR) 2

(3-N24-08/14)N-QR-457(TR) 3 P.T.O.

N-QR-457(TR) 4

(3-N24-08/15)N-QR-457(TR) 5 P.T.O.

N-QR-457(TR) 6

(3-N24-08/16)N-QR-457(TR) 7 P.T.O.

N-QR-457(TR) 8

(3-N24-08/17)N-QR-457(TR) 9 P.T.O.

N-QR-457(TR) 10

(3-N24-08/18)N-QR-457(TR) 11 P.T.O.

N-QR-457(TR) 12

(3-N24-08/19)N-QR-457(TR) 13 P.T.O.

N-QR-457(TR) 14

(3-N24-08/20)N-QR-457(TR) 15 1,680