Topology-I - BU 2024 Question Paper

Download Original PDF

Get the official Barkatullah University print version scanned document.

🤝 Help Your Juniors!

Have previous year question papers that aren't on our website? Help the next batch of students by sending them to us! With your consent, we will proudly feature your name as a Top Contributor on our platform.

Submit Papers 📩

Roll No. .....................................

Total No. of Questions : 11

[Total No. of Printed Pages : 16

QR-443

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । सभी प्रश्नों के अंक समान हैं ।

Attempt all questions. All questions carry equal marks.

M.Sc. (Reg./Pvt./ATKT) Examination, 2024

(First Semester)

MATHEMATICS

(Compulsory)

Paper-III

Topology-I

Time : 3 Hours

[Maximum Marks : 85

नोट : सभी खण्डों से निर्देशानुसार प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

Attempt the questions of all Sections as directed.

खण्ड 'अ'

Section A

(वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

(Objective Type Questions)

10×1.5=15

सही उत्तर का चयन कीजिए :

Choose the correct answer :

(i)

एक सेट को गणनीय कहा जाता है, यदि यह होता है:

(अ) परिमित

(ब) प्रगणनीय

(स) या तो परिमित या प्रगणनीय

(द) न तो परिमित और न ही प्रगणनीय

A set is called countable if it is :

(a) Finite

(b) Denumerable

(d) Neither Finite nor Denumerable

(ii)

यदि [0, 1] की कार्डिनल संख्या C है, तो [0, 1] पर परिभाषित सभी वास्तविक फलनों के सेट की कार्डिनल संख्या है :

(अ) C

(ब) 2C

(स) 2^C

(द) C/2

If the cardinal number of [0, 1] is C, then the cardinal number of the set of all real functions defined on [0, 1] is :

(a) C

(b) 2C

(d) C/2

(iii)

सभी पूर्णांक I के सेट की सीमा है :

(अ) N

(ब) R

(स) Q

(द) R⁺

Boundary of set of all Integers I is :

(a) N

(b) R

(d) R⁺

(iv)

A, i.e. Ā का बंद होना, अर्थात् है :

(अ) A के सभी बंद सुपरसेट का प्रतिच्छेदन

(ब) A के सभी बंद सुपरसेट का संघ

(स) A के सभी बंद उपसमुच्चयों का प्रतिच्छेदन

(द) A के सभी बंद उपसमुच्चयों का संघ

Closure of A, i.e. Ā is :

(a) Intersection of all closed supersets of A

(b) Union of all closed supersets of A

(d) Union of all closed subsets of A

(v)

f : R → R, f (x) = x² द्वारा परिभाषित मैपिंग है :

(अ) सतत

(ब) विवृत

(स) सतत लेकिन विवृत नहीं

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

Mapping f : R → R defined by f (x) = x² is :

(a) Continuous

(b) Open

(d) None of the above

(vi)

निम्नलिखित में से कौनसा कथन सत्य नहीं है ?

(अ) प्रत्येक विवृत अंतराल एक विवृत समुच्चय है

(ब) प्रत्येक विवृत अंतराल अपने प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस है

(स) प्रत्येक संवृत अंतराल अपने प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस है

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

Which of the following statements is not true ?

(a) Every open interval is an open set

(b) Every open interval is a neighbourhood of each of its points

(d) None of the above

(vii)

प्रत्येक अविभाज्य स्थान है :

(अ) जुड़ा हुआ

(ब) असंयोजित

(स) पूरी तरह से असंयोजित

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

Every indiscrete space is :

(a) Connected

(b) Disconnected

(d) None of the above

(viii)

सामान्य टोपोलॉजी वाली वास्तविक रेखा R एक पृथक् समष्टि है, क्योंकि :

(अ) Q प्रगणनीय है और Q = R

(ब) Q ≠ R

(स) Q प्रगणनीय नहीं है

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

The real line R with usual topology is a separable space, since :

(a) Q is denumerable and Q = R

(b) Q ≠ R

(d) None of the above

(ix)

निम्नलिखित में से कौनसा कथन सत्य नहीं है ?

(अ) प्रत्येक पथ से जुड़ा हुआ स्थान जुड़ा हुआ है

(ब) पथ से जुड़े हुए स्थान की सतत् छवि जुड़ा हुई है

(स) यदि कोई स्थान जुड़ा हुआ है तो वह पथ से जुड़ा हुआ है

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

Which of the following statements is not true ?

(a) Every path connected space is connected

(b) Continuous image of path connected space is connected

(d) None of the above

(x)

प्रत्येक असतत् स्थान असंबद्ध है यदि उसमें निम्न शामिल हैं :

(अ) कोई तत्व नहीं

(ब) एक तत्व

(स) एक से अधिक तत्व

(द) अनंत तत्व

Every discrete space is disconnected if it contains :

(a) No element

(b) One element

(d) Infinite element

खण्ड 'ब'

Section B

(लघु उत्तरीय प्रश्न)

(Short Answer Type Questions)

5×5=25

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । सभी प्रश्नों के अंक समान हैं ।

Attempt all questions. All questions carry equal marks.

सिद्ध कीजिए कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय गणनीय नहीं है ।

Prove that the set of all real numbers is uncountable.

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि सभी अनुक्रमों का समुच्चय जिसके तत्व अंक 0 और 1 हैं, गणनीय है ।

Prove that the set of all sequences whose elements are the digits 0 and 1, is countable.

टोपोलॉजिकल स्पेस, सघन सेट, व्युत्पन्न सेट पड़ोस को परिभाषित कीजिए ।

Define Topological space, Dense set, Derived set, neighbourhood.

अथवा (Or)

बंद सेट को परिभाषित कीजिए । दिखाइए कि टोपोलॉजिकल स्पेस में बंद सेटों का स्वैच्छिक प्रतिच्छेद संवृत है ।

Define closed set. Show that in a Topological space arbitrary intersection of closed sets is closed.

टोपोलॉजिकल स्पेस में होमोमोर्फिज्म को परिभाषित कीजिए । सिद्ध कीजिए कि होमोमोर्फिज्म टोपोलॉजिकल स्पेस के परिवार में एक तुल्यता संबंध है ।

Define Homeomorphism in Topological space. Prove that Homeomorphism is an equivalence relation in the family of Topological spaces.

अथवा (Or)

दिखाइए कि हर द्वितीय गणनीय समष्टि पृथकरणीय है ।

Show that every second countable space is separable.

प्रथम गणनीय समष्टि को परिभाषित कीजिए । दिखाइए कि मीट्रिक स्पेस प्रथम गणनीय है ।

Define first countable space. Show that Metric space is first countable.

अथवा (Or)

टोपोलॉजिकल स्पेस में सतत् फंक्शन को परिभाषित कीजिए । यदि f और g टोपोलॉजिकल स्पेस X में परिभाषित सतत् फंक्शन हैं, तो सिद्ध कीजिए कि (f + g) और (fg) भी सतत् हैं ।

Define continuous function in Topological space. If f and g are continuous functions defined on a Topological space X, then prove that (f + g) and (fg) are also continuous.

पथ कनेक्टेडनेस कनेक्टेड स्पेस घटक को परिभाषित कीजिए ।

Define Path connectedness connected space component.

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि कनेक्टेड स्पेस की सतत् छवि कनेक्टेड है ।

Prove that continuous image of connected space is connected.

खण्ड 'स'

Section C

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)

(Long Answer Type Questions)

5×9=45

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । सभी प्रश्नों के अंक समान हैं ।

Attempt all questions. All questions carry equal marks.

वेल ऑर्डरिंग प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Well ordering theorem.

अथवा (Or)

श्रॉडर-बर्नस्टीन प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Schröder-Bernstein theorem.

टोपोलॉजी के लिए आधार को परिभाषित कीजिए । यदि B टोपोलॉजी T या X के लिए आधार है और B* B युक्त खुले समुच्चयों का एक वर्ग है । दिखाइए कि B* (X, T) के लिए भी आधार है ।

Define Base for a Topology. If B be a base for topology T or X and B* be a class of open sets containing B. Show that B* is also a base for (X, T).

अथवा (Or)

यदि (X, T) एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और A और B, X के उपसमुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि :

If (X, T) be a topological space and A and B be subsets of X, then prove that :

(i) A ⊂ Ā

(ii) A ⊆ B ⇒ A ⊆ B

(iii) A ∪ B = Ā ∪ B

(iv) Ā = A

कुराटोवस्की क्लोजर ऑपरेटर के संदर्भ में टोपोलॉजिकल स्पेस को परिभाषित कीजिए और दिखाइए कि एकैक निरंतर मानचित्र f : X→Y होमोमॉर्फिज्म है यदि f या तो विवृत या संवृत है ।

Define topological space in terms of Kuratowski closure operator and show that a one-one onto continuous map f : X → Y is Homeomorphism if f is either open or closed.

अथवा (Or)

पड़ोस प्रणाली के संदर्भ में टोपोलॉजी की समतुल्य परिभाषा को परिभाषित कीजिए ।

Define equivalent definition of Topology in terms of Neighbourhood system.

यदि f : X→Y, X और Y टोपोलॉजिकल स्पेस हैं । दिखाइए कि जब भी F, Y में संवृत होता है, तो f^-1(F) X में संवृत होता है ।

If f : X→Y, X and Y are topological spaces. Show that f^-1(F) is closed in X whenever F is closed in Y.

10.

द्वितीय गणनीय समष्टि परिभाषित कीजिए । सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक द्वितीय गणनीय समष्टि टोपोलॉजिकल स्पेस में प्रथम गणनीय है ।

Define Second Countable Space. Prove that every second countable space is first countable in Topological space.

अथवा (Or)

लिंडेलोफ के प्रमेय को बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Lindelof’s theorem.

11.

स्थानीय रूप से जुड़े हुए स्थान को परिभाषित कीजिए । दिखाइए कि स्थानीय रूप से जुड़े हुए स्थान का प्रत्येक घटक विवृत है ।

Define Locally Connected Space. Show that every component of locally connected space is open.

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि R का एक उपसमुच्चय तभी जुड़ा होता है जब वह एक अंतराल हो ।

Prove that a subset of R is connected if and only if it is an interval.