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ST-483

M. Sc. (Reg./Pvt./ATKT) Examination, 2025

(Second Semester)

MATHEMATICS

Paper II

Lebesque Measure and Integration-II

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : Reg. : 85 Pvt. : 100

नोट : सभी खण्डों से प्रश्नों के निर्देशानुसार उत्तर दीजिए।

Attempt questions of all Sections as directed.

खण्ड 'अ'

Section A

(वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

(Objective Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

Attempt all questions.

10×1½=15

सही उत्तर का चयन कीजिए :

Choose the correct answer :

(i)

प्रत्येक गणनीय समुच्चय का माप होता है :

The measure of every enumerable set is :

0
1
2
उपर्युक्त में से कोई नहीं

(ii)

मान लीजिए E एक मापनीय समुच्चय है और E + y इसका ट्रांसलेट है जहाँ y एक वास्तविक संख्या है । तब :

Let E be a measurable set and E + y is its translate where y is a real number. Then :

m(E + y) ≠ m(E)
m(E + y) = m(E)
m(E + y) > m(E)
None of the above

(iii)

मान लीजिए कि f लेबेस्ग्यू समाकलनीय है, तो परिमित माप के समुच्चय E पर :

Let f be a Lebesgue integrable, then on a set E of finite measure :

$$ \int_E af > \int_E a f \quad \forall a \in R $$
$$ \int_E af = \int_E a f \quad \forall a \in R $$
$$ \int_E af < \int_E a f \quad \forall a \in R $$
उपर्युक्त में से कोई नहीं

(iv)

मान लीजिए कि f और g, E पर समाकलनीय फलन हैं तथा A और B, E में असंयुक्त मापनीय समुच्चय हैं, तो :

Let f and g be integrable functions over E and A and B are disjoint measurable sets in E, then :

$$ \int_{A \cup B} f = \int_A f + \int_B f $$
$$ \int_{A \cup B} f > \int_A f + \int_B f $$
$$ \int_{A \cup B} f < \int_A f + \int_B f $$
उपर्युक्त में से कोई नहीं

(v)

यदि फलन f, c पर अपना अधिकतम मान ग्रहण करता है, तो :

If the function f assumes its maximum at c, then :

D⁺f(c) ≤ 0
D⁺f(c) ≥ 0
दोनों (अ) और (ब)
उपर्युक्त में से कोई नहीं

(vi)

यदि f, [a, b] पर परिवद्ध भिन्नता का है, तो :

If f is of bounded variation on [a, b], then :

$$ T_a^b = P_a^b + N_a^b $$
$$ T_a^b < P_a^b + N_a^b $$
$$ T_a^b > P_a^b + N_a^b $$
उपर्युक्त में से कोई नहीं

(vii)

यदि f ∈ L^P[a, b], p > 1, तो :

If f ∈ L^P[a, b], p > 1, then :

f ∈ L[a, b]
f ∉ L[a, b]
दोनों (अ) एवं (ब)
उपर्युक्त में से कोई नहीं

(viii)

मान लीजिए कि ϕ, (-∞, ∞) पर उत्तल फलन है तथा f, [0, 1] पर समाकलनीय फलन है । तब असमिका :

$$ \int_0^1 \phi(f(t))dt \ge \phi\left(\int_0^1 f(t)dt\right) $$

को इस रूप में जाना जाता है :

Let ϕ be a convex function on (-∞, ∞) and f an integrable function on [0, 1]. Then the inequality :

$$ \int_0^1 \phi(f(t))dt \ge \phi\left(\int_0^1 f(t)dt\right) $$

as known as :

जेनसेन की असमिका Jensen's inequality
होल्डर असमिका Holder inequality
मिन्कोव्स्की असमिका Minkowski inequality
उपर्युक्त में से कोई नहीं None of the above

(ix)

यदि अनुक्रम {f_n} माप में f में अभिसरित होता है, तो सिद्ध कीजिए कि सीमा फलन f है :

If a sequence {f_n} converges in measure to f, then the limit function f is :

अद्वितीय a.e. unique a.e.
अद्वितीय नहीं a.e. not unique a.e.
दोनों (अ) एवं (ब) both (a) and (b)
उपर्युक्त में से कोई नहीं None of the above

(x)

सही कथन है :

The correct statement is :

$$ ||f+g||_L = ||f||_L + ||g||_L $$
$$ ||f+g||_L \le ||f||_L + ||g||_L $$
$$ ||f+g||_L \ge ||f||_L + ||g||_L $$
उपर्युक्त में से कोई नहीं

खण्ड 'ब'

Section B

(लघु उत्तरीय प्रश्न)

(Short Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों को हल कीजिए ।

Attempt all questions.

5×5=25

यदि A एक गणनीय समुच्चय है, तो सिद्ध कीजिए कि m*(A) = 0 ।

If A is a countable set, then prove that m*(A) = 0.

दिखाइए कि f पर निम्न द्वारा परिभाषित फलन R एक मापनीय फलन है :

$$ f(x) = \begin{cases} x+5 & \text{यदि } x < -1 \\ 2 & \text{यदि } -1 \le x < 0 \\ x^2 & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases} $$

Show that the function f defined on R by :

$$ f(x) = \begin{cases} x+5 & \text{if } x < -1 \\ 2 & \text{if } -1 \le x < 0 \\ x^2 & \text{if } x \ge 0 \end{cases} $$

is a measurable function.

अथवा (Or)

मान लीजिए f : E → R एक सरल फलन है । तब सिद्ध कीजिए कि :

$$ \int_E L f(x) dx = L \int_E f(x) dx $$

Let f : E → R be a simple function. Then prove that :

$$ \int_E L f(x) dx = L \int_E f(x) dx $$

अथवा (Or)

दिखाइए कि यदि f एक गैर-ऋणात्मक मापनीय फलन है, तो f=0 लगभग हर जगह समुच्चय E पर होगा यदि और केवल यदि ∫f=0 ।

Show that if f is a non-negative measurable function then f = 0 almost everywhere on a set E iff $$ \int_E f = 0 $$.

निम्न द्वारा परिभाषित फलन f : R → R के लिए चार अवकलज ज्ञात कीजिए :

$$ f(x) = |x|, \quad \forall x \in R $$

Find the four derivatives for the function f : R → R defined by :

$$ f(x) = |x|, \quad \forall x \in R $$

अथवा (Or)

दिखाइए कि सीमित भिन्नता का फलन सतत नहीं होना चाहिए ।

Show that a function of bounded variation need not be continuous.

L^p-स्पेस को परिभाषित कीजिए और एक उदाहरण दीजिए ।

Define L^p-space and give one example.

अथवा (Or)

उत्तल फलन को परिभाषित कीजिए और एक उदाहरण दीजिए ।

Define convex function and give one example.

माप में अभिसरण को परिभाषित कीजिए ।

Define convergence in measure.

अथवा (Or)

लगभग एकसमान अभिसरण को परिभाषित कीजिए ।

Define almost uniform convergence.

खण्ड 'स'

Section C

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)

(Long Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों को हल कीजिए ।

Attempt all questions.

9×5=45

सिद्ध कीजिए कि मापन योग्य समुच्चयों की एक सीमित संख्या का संघ मापन योग्य होता है ।

Prove that the union of a finite number of measurable sets is measurable.

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि मापन योग्य समुच्चय पर परिभाषित एक सतत फलन मापन योग्य है ।

Prove that a continuous function defined on a measurable set is measurable.

फाटक की प्रमेयिका बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Fatou's Lemma.

अथवा (Or)

मान लीजिए कि f एक गैर-ऋणात्मक फलन है जो एक समुच्चय E पर समाकलनीय है । सिद्ध कीजिए कि दिए गए ∈ > 0 के लिए, एक δ > 0 इस प्रकार है कि m(A) < δ संहित प्रत्येक समुच्चय A ⊂ E के लिए,

$$ \int_A f < \epsilon $$

Let f be a non-negative function which is integrable over a set E. Prove that for a given ∈ > 0, there is a δ > 0 such that for every set A ⊂ E with m(A) < δ,

$$ \int_A f < \epsilon $$

सिद्ध कीजिए कि एक फलन f [a, b] पर सीमित भिन्नता का है यदि और केवल यदि f, [a, b] पर दो मोनोटोन वास्तविक मान वाले फलनों का अंतर है ।

Prove that a function f is of bounded variation on [a, b] if and only if f is the difference of two monotone real valued functions on [a, b].

अथवा (Or)

मान लीजिए कि f, [a, b] पर लेबेस्ग्यू समाकलनीय फलन है, तो सिद्ध कीजिए कि f का अनिश्चित समाकलन [a, b] पर सीमित भिन्नता का एक सतत फलन है ।

Let f be Lebesgue integrable function on [a, b], then prove that the indefinite integral of f is a continuous function of bounded variation on [a, b].

10.

मान लीजिए 1 ≤ p < ∞ और मान लीजिए कि f, g ∈ L^p(µ) । तब दर्शाइए कि f + g ∈ L^p(µ) और

$$ ||f+g||_p \le ||f||_p + ||g||_p $$

Let 1 ≤ p < ∞ and let f, g ∈ L^p(µ). Then show that f + g ∈ L^p(µ) and

$$ ||f+g||_p \le ||f||_p + ||g||_p $$

अथवा (Or)

दिखाइए कि L^p-स्पेस एक मानकीकृत रैखिक स्पेस है ।

Show that an L^p-space is a normed linear space.

11.

यदि अनुक्रम {f_n} माप में f में अभिसरित होता है, तो सिद्ध कीजिए कि सीमा फलन f लगभग हर जगह अद्वितीय है ।

If a sequence {f_n} converges in measure to f, then prove that the limit function f is unique almost everywhere.

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि L^∞[0, 1] पूर्ण है ।

Prove that L^∞[0, 1] is complete.