Complex Analysis-Ii

(i)

(ii)

यदि γ : [0,1] → C, a से b तक का पथ है और

γ के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरएँ मान लीजिए

ताकि [f₀]_a = [g₀]_a. तो :

If γ : [0,1] → C is a path from a to b and let

be analytic continuations along γ such that

(iii)

0 ≤ r ≤ 1 तथा - ∞ < θ < ∞ के लिए प्वासों कर्नल

For 0 ≤ r ≤ 1 and - ∞ < θ < ∞ the Poisson kernel

(iv)

फंक्शन e^z का क्रम है :

The order of the function e^z is :

(v)

यदि f डिस्क B(a; r) पर एक विश्लेषणात्मक

फंक्शन है जिससे कि |f'(z)-f'(a)| < |f'(a)|,

∀z ∈ B(a; r) z ≠ a के साथ तो f है :

If f is an analytic function on the disk B(a; r)

such that |f'(z)-f'(a)| < |f'(a)|, ∀z ∈ B(a; r)

with z ≠ a then f is :

निम्नलिखित पर संक्षिप्त टिप्पणियाँ लिखिए :

Write short notes on the following :

सिद्ध कीजिए कि F(z) = ∫₀^∞ e^{-z t} dt द्वारा परिभाषित फंक्शन

1 Re z पर विश्लेषणात्मक है जिसके लिए R(z) > 0 ।

एक फंक्शन ज्ञात कीजिए जो f₁(z) की विश्लेषणात्मक निरंतरता

में है ।

Prove that the function defined by F(z) = ∫₀^∞ e^{-z t} dt

is analytic at all points z for which R(z) > 0. Find a

function which is in analytic continuation of f₁(z) .

सिद्ध कीजिए कि एक विश्लेषणात्मक फंक्शन f(z) को एक

ही डोमेन में एक से अधिक निरंतरता नहीं हो सकती है ।

Prove that there cannot be more than one continuation

of an analytic function f(z) into the same domain.

मान लीजिए कि G, C में एक क्षेत्र है और S, C_∞ का एक

बंद जुड़ा हुआ सबसेट है जिससे कि ∞ ∈ S और

S ∩ ∂G = {a} । यदि G₀, C_∞ - S का घटक है जिसमें

G शामिल है तो G₀ समतल में एक सरल रूप से जुड़ा हुआ

क्षेत्र है । सिद्ध कीजिए ।

Let G be a region in C and let S be a closed

connected subset of C_∞ such that ∞ ∈ S and

S ∩ ∂G = {a}. If G₀ is the component of C_∞ - S

which contains G then G₀ is a simply connected

region in the plane. Prove.

यदि u : G → R एक सतत फलन है जिसमें माध्य मान गुण

है तो सिद्ध कीजिए कि u हार्मोनिक है ।

If u : G → R is a continuous function which has the

mean value property then prove that u is harmonic.

बहुपद :

का क्रम ज्ञात कीजिए ।

Find the order of the polynomial :

निम्नलिखित का कथन लिखिए :

Write the statement of the following :

लिटिल पिकार्ड प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Little Picard Theorem.

निम्नलिखित की व्याख्या कीजिए :

Explain the following :

वीयरस्ट्रास फैक्टरइजेशन प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Weierstrass Factorization theorem.

Re z > 1 के लिए सिद्ध कीजिए कि :

मिटाग-लेफ्लर प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Mittag-Leffler's Theorem.

सिद्ध कीजिए कि श्रृंखला Σ_n=0^{∞ zn}(z-1)ⁿ और Σ_n=0^{∞ (z-1)n}(z-1)ⁿ⁺¹

एक-दूसरे की विश्लेषणात्मक निरंतरताएँ हैं ।

Prove that the series Σ_n=0^{∞ zn}2ⁿ⁺¹ and Σ_n=0^{∞ (z-1)n}(z-1)ⁿ⁺¹ are

analytic continuations of each other.

श्वाज्र का परावर्तन सिद्धांत बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Schwarz's Reflection Principle.

मान लीजिए कि G और Ω ऐसे क्षेत्र हैं जहाँ G का Ω पर

एकैक विश्लेषणात्मक फंक्शन f है; मान लीजिए कि a ∈ G

और α = f(a) । यदि g_a और γ_α क्रमशः a और α

विलक्षणताओं के साथ G और Ω के लिए ग्रीन के फंक्शन हैं,

तो सिद्ध कीजिए कि :

Let G and Ω be regions such that there is a one-one

analytic function f of G onto Ω; let a ∈ G and

α = f(a). If g_a and γ_α are the Green's functions for

G and Ω with singularities a and α respectively,

then prove that :

जेन्सन सूत्र बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Jensen's Formula.

हेडमार्द गुणनखण्डन प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Hadamard's Factorization theorem.

यदि f डिस्क D={z;|z|<1} को घेरे होने वाले क्षेत्र पर

एक विश्लेषणात्मक फंक्शन है और f(0)=0, f'(0)=1 को

संतृष्ट करता है । तब सिद्ध कीजिए कि एक डिस्क

S ⊂ D है जिस पर f एकैक है और इस प्रकार कि f(s)

में त्रिज्या ¹72 की एक डिस्क है ।

If f is an analytic function on a region containing the

closure of the disk D={z;|z|<1} and satisfying

f(0)=0, f'(0)=1, then prove that there is a disk

S ⊂ D on which f is one-one and such that f(s)

contains a disk of radius ¹72.

मोंटेल-कैराथियोडोरी प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Montel-Caratheodory theorem.