Advanced Abstract Algebra-Ii - BU 2025 Question Paper

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ST-482

M. Sc. (REG./PVT./ATKT) Examination, 2025

(Second Semester)

MATHEMATICS

Paper-I

Advanced Abstract Algebra-II

[Time: 3 Hours] [Maximum Marks : Reg.: 85 Pvt.: 100]

नोट : सभी खण्ड अनिवार्य हैं ।

All Sections are compulsory.

खण्ड 'अ'

Section A

(वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

(Objective Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों को हल कीजिए ।

Attempt all questions.

10×1½=15

सही उत्तर का चयन कीजिए :

Choose the correct answer :

(i) यदि M=(x) कुछ x∈M के लिए है, तो M को कहा जाता है :

If M=(x) for some x∈M, then M is called :

(अ) परिमित मॉड्युल
(a) Finite module
(ब) चक्रीय मॉड्युल
(b) Cyclic module
(स) प्राथमिक मॉड्युल
(c) Primary module
(द) P-प्राथमिक मॉड्युल
(d) P-primary module

(ii) यदि f, R-मॉड्युल M का R-मॉड्युल N में R-होमोमॉर्फिज्म है, तो निम्न में से कौन M का R-सबमॉड्युल है ?

If f is an R-homomorphism of an R-module M into R-module N, then which of the following is R-submodule of M ?

(अ) Ker f
(a) Ker f
(ब) Im f
(b) Im f
(स) दोनों (अ) और (ब)
(c) Both (a) and (b)
(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं
(d) None of the above

(iii) यदि M, R-मॉड्युल है, तो Hom_R(MM), Hom(MM) का एक ____ है ।

If M is R-module then Hom_R(MM) is a ____ of Hom(MM).

(अ) वलय
(a) ring
(ब) विभाजन वलय
(b) division ring
(स) क्षेत्र
(c) field
(द) उपवलय
(d) subring

(iv) मुक्त मॉड्युल {0} का आधार है :

Basis of free module {0} is :

(अ) रिक्त समुच्चय
(a) empty set
(ब) {0}
(b) {0}
(स) दोनों (अ) और (ब)
(c) Both (a) and (b)
(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं
(d) None of the above

(v) आर्टिनियन रिंग का सब्रिंग होता है :

A subring of artinian ring is :

(अ) नोइथेरियन
(a) Noetherian
(ब) आर्टिरियन
(b) Artinian
(स) नोइथेरियन होने की आवश्यकता नहीं है
(c) Need not be noetherian
(द) आर्टिनियन होने की आवश्यकता नहीं है
(d) Need not be artinian

(vi) यदि R-मॉड्युल M के सबमॉड्युल के लिए अवरोही श्रृंखला को स्थिति M में मान्य है, तो M को कहा जाता है :

If descending chain condition for submodule of R-module M holds in M, then M is called :

(अ) मुक्त मॉड्युल
(a) Free module
(ब) सरल मॉड्युल
(b) Simple module
(स) आर्टिनियन मॉड्युल
(c) Artinian module
(द) नोइथेरियन मॉड्युल
(d) Noetherian module

(vii) यदि किसी गैर-शून्य मॉड्युल M के कोई दो गैर-शून्य मॉड्युल में गैर-शून्य प्रतिच्छेद है, तो M को कहा जाता है :

If any two non-zero submodules of a non-zero module M have non-zero intersection, then M is called :

(अ) P-प्राथमिक मॉड्युल
(a) P-primary module
(ब) मुक्त मॉड्युल
(b) Free module
(स) प्राथमिक मॉड्युल
(c) Primary module
(द) यूनिफॉर्म मॉड्युल
(d) Uniform module

(viii) R-मॉड्युल M का एक शून्यतर तत्व x टॉर्शन मुक्त तत्व कहलाता है, यदि :

A non-zero element x of an R-module M is called torsion free element, if :

(अ) rx=0⇒r=0
(a) rx=0⇒r=0
(ब) r=0⇒rx=0
(b) r=0⇒rx=0
(स) rx=0⇒r≠0
(c) rx=0⇒r≠0
(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं
(d) None of the above

(ix) यदि V, F पर परिमित आयामी है, तो T∈A(V) नियमित है यदि और केवल यदि :

If V is finite dimensional over F, then T∈A(V) is regular if and only if :

(अ) T, V को V में मैप करता है
(a) T maps V into V
(ब) T, V को V पर मैप करता है
(b) T maps V onto V
(स) T, V को V के उपसमष्टि पर मैप करता है
(c) T maps V onto subspace of V
(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं
(d) None of the above

(x) रैखिक परिवर्तन S, T∈A(V) को समान कहा जाता है यदि इनमें एक व्युत्क्रमणीय तत्व C∈A(V) मौजूद हो जैसे कि :

The linear transformation S, T∈A(V) are said to be similar if there exists an invertible element C∈A(V) such that :

(अ) S = TCT^-1
(a) S = TCT^-1
(ब) T = S^-1CS
(b) T = S^-1CS
(स) T = CSC^-1
(c) T = CSC^-1
(द) TS = ST
(d) TS = ST

खण्ड 'ब'

Section B

(लघु उत्तरीय प्रश्न)

(Short Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों को हल कीजिए ।

Attempt all questions.

5×5=25

यदि (N_i)_i∈I किसी R-मॉड्युल M के R-उपमॉड्युल का परिवार है, तो सिद्ध कीजिए कि ⋂_i∈I N_i भी एक R-मॉड्युल है ।

If (N_i)_i∈I is a family of R-submodules of an R-module M, then prove that ⋂_i∈I N_i is also an R-module.

अथवा (Or)

यदि f : M→ N किसी R-मॉड्युल M का R-होमोमॉर्फिज्म है, R-मॉड्युल N पर, तो सिद्ध कीजिए कि Ker f, M का R-सबमॉड्युल है ।

If f : M→ N be an R-homomorphism of an R-module M into on R-module N, then prove that Ker f is an R-submodule of M.

शूर की प्रमेइका बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Schur's Lemma.

अथवा (Or)

यदि M एक कम्यूटेटिव रिंग R पर एक परिमित जनरेटेड को मॉड्युल है, तो सिद्ध कीजिए कि M के सभी आधार परिमित हैं ।

If M is a finitely generated free module over a commutative ring R, then prove that all basis of M are finite.

एक उदाहरण के साथ नोइथेरियन मॉड्युल को परिभाषित कीजिए ।

Define Noetherian module with an example.

अथवा (Or)

एक उपयुक्त उदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि नोइथेरियन रिंग का सब्रिंग नोइथेरियन होना ज़रूरी नहीं है ।

Prove that a subring of a noetherian ring need not be noetherian by a suitable example.

निम्नलिखित को परिभाषित कीजिए :

Define the following :

(i) यूनिफॉर्म मॉड्युल
(i) Uniform module
(ii) प्राथमिक मॉड्युल ।
(ii) Primary module.

अथवा (Or)

नोइघर लास्कर प्रमेय का कथन बताइए ।

Give the statement of Noether Lasker theorem.

यदि V, F पर परिमित आयामी है और यदि T∈A(V) व्युत्क्रमणीय है, तो सिद्ध कीजिए कि T^-1, F पर T में एक बहुपद व्यंजक है ।

If V is finite dimensional over F and if T∈A(V) is invertible, then prove that T^-1 is a polynomial expression in T over F.

अथवा (Or)

यदि λ∈F, T∈A(V) का अभिलाक्षणिक मूल है, तो दर्शाए कि किसी भी बहुपद q(x)∈F[x] के लिए q(λ) का अभिलाक्षणिक मूल q(T) है ।

If λ∈F is a characteristic root of T∈A(V), then show that for any polynomial q(x)∈F[x], q(λ) is a characteristic root of q(T).

खण्ड 'स'

Section C

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)

(Long Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

Attempt all questions.

5×9=45

दर्शाइए कि वलय R पर बहुपद वलय R[x] एक R-मॉड्युल है ।

Show that the polynomial ring R[x] over a ring R is an R-module.

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि भागफल मॉड्युल का उपमॉड्युल U/N के रूप का होता है, जहाँ U उपमॉड्युल है M का जिसमें N निहित है ।

Prove that the submodule of the quotient module M/N are of the form U/N, where U is a submodule of M containing N.

यदि R एक रिंग वाला वलय है और M एक R-मॉड्युल है, तो दर्शाइए कि M सरल है यदि और केवल यदि M≠{0} और M किसी भी 0≠x∈M द्वारा जनित होता है ।

If R is a ring with unity and M is an R-module, then show that M is simple if and only if M≠{0} and M is generated by any 0≠x∈M.

अथवा (Or)

यदि M एक विनिमेय वलय R पर परिमित रूप से जनित मुक्त मॉड्युल है, तो दर्शाइए कि M के सभी आधारों में तत्वों की संख्या समान है ।

If M is a finitely generated free module over a commutative ring R, then show that all basis of M have the same number of elements.

यदि M एक R-मॉड्युल है और N, M का R-सबमॉड्युल है, तो सिद्ध कीजिए कि M नोइथेरियन है और केवल तभी जब N और M/N दोनों नोइथेरियन हों ।

If M is an R-module and N is an R-submodule of M, then prove that M is noetherian if and only if both N and M/N are noetherian.

अथवा (Or)

यदि N, नोइथेरियन रिंग R में एक शून्य गुणजावली है, तो दिखाइए कि N शून्यपोषी है ।

If N is a nil ideal in a noetherian ring R, then show that N is nilpotent.

10.

यदि R एक मुख्य आइडियल डोमेन है और M एक R-मॉड्युल है, तो सिद्ध कीजिए कि Tor M = {x ∈ M : r x = 0} M का एक सबमॉड्युल है ।

If R is a principal ideal domain and M is an R-module, then prove that Tor M = {x ∈ M : r x = 0} is a submodule of M.

अथवा (Or)

यदि M एक नोइथेरियन मॉड्युल है, तो सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक गैर-शून्य सबमॉड्युल में एक एकसमान मॉड्युल होता है ।

If M is a noetherian module, then prove that each non-zero submodule contains a uniform module.

11.

यदि V, F पर परिमित आयामी है, तो सिद्ध कीजिए कि T∈A(V) व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि T के लिए न्यूनतम बहुपद का स्थिर पद 0 नहीं है ।

If V is finite dimensional over F, then prove that T∈A(V) is invertible if and only if the constant term of the minimal polynomial for T is not 0.

अथवा (Or)

यदि V, F पर n आयामी है और T∈A(V) के सभी अभिलाक्षणिक मूल F में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि T, F पर n डिग्री वाले बहुपद को संतुष्ट करता है ।

If V is n dimensional over F and T∈A(V) has all its characteristic roots in F, then prove that T satisfies a polynomial of degree n over F.