Download Original PDF
Get the official Barkatullah University print version scanned document.
ЁЯдЭ Help Your Juniors!
Have previous year question papers that aren't on our website? Help the next batch of students by sending them to us! With your consent, we will proudly feature your name as a Top Contributor on our platform.
Submit Papers ЁЯУй
Roll No. ........................
1.
рд╕рд╣реА рдЙрддреНрддрд░ рдХрд╛ рдЪрдпрди рдХреАрдЬрд┐рдП :
Choose the correct answer :
Choose the correct answer :
Total No. of Questions : 11
[Total No. of Printed Pages : 15
QR-461
M. Sc. (Reg./Pvt./ATKT) Examination, 2024
(Third Semester)
MATHEMATICS
Paper-II
Advanced Special Function-I
Time : 3 Hours]
[Maximum Marks : Reg.: 85
Pvt.: 100
Pvt.: 100
рдиреЛрдЯ : рд╕рднреА рдЦрдгреНрдб рдЕрдирд┐рд╡рд╛рд░реНрдп рд╣реИ ред
All Sections are compulsory.
рдЦрдгреНрдб 'рдЕ'
Section A
(рд╡рд╕реНрддреБрдирд┐рд╖реНрда рдкреНрд░рд╢реНрди)
(Objective Type Questions)
рдиреЛрдЯ : рд╕рднреА рдкреНрд░рд╢реНрдиреЛрдВ рдХреЗ рдЙрддреНрддрд░ рджреАрдЬрд┐рдП ред
Attempt all questions.
5×3=15
(i)
(α)n−m =
(рдЕ)
(−1)m (α)n
(1−α+n)m
(рдм) (−1)n (α)m (1−α+n)n
(рд╕) (−1)m (α)m (1−α−n)m
(рдж) рдЙрдкрд░реНрдпреБрдХреНрдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рдХреЛрдИ рдирд╣реАрдВ
(рдм) (−1)n (α)m (1−α+n)n
(рд╕) (−1)m (α)m (1−α−n)m
(рдж) рдЙрдкрд░реНрдпреБрдХреНрдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рдХреЛрдИ рдирд╣реАрдВ
(α)n−m =
(a) (−1)m (α)n (1−α+n)m
(b) (−1)n (α)m (1−α+n)n
(c) (−1)m (α)m (1−α−n)m
(d) None of the above
(a) (−1)m (α)n (1−α+n)m
(b) (−1)n (α)m (1−α+n)n
(c) (−1)m (α)m (1−α−n)m
(d) None of the above
(ii)
F(a+) =
(рдЕ) F(a+1, b; c; z)
(рдм) F(a−1, b; c; z)
(рд╕) F 1 a+1 , b; c; z
(рдж) рдЙрдкрд░реНрдпреБрдХреНрдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рдХреЛрдИ рдирд╣реАрдВ
(рдм) F(a−1, b; c; z)
(рд╕) F 1 a+1 , b; c; z
(рдж) рдЙрдкрд░реНрдпреБрдХреНрдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рдХреЛрдИ рдирд╣реАрдВ
F(a+) =
(a) F(a+1, b; c; z)
(b) F(a−1, b; c; z)
(c) F 1 a+1 , b; c; z
(d) None of the above
(a) F(a+1, b; c; z)
(b) F(a−1, b; c; z)
(c) F 1 a+1 , b; c; z
(d) None of the above
(iii)
3F2
−n, a, b;
c, 1+c+a+b−n;
1 =
(c−a)n (c−b)n
(c)n (c−a−b)n
is the statement of :
is the statement of :
(a) Whipple's theorem
(b) Dixon's theorem
(c) Saalschutz theorem
(d) None of the above
(b) Dixon's theorem
(c) Saalschutz theorem
(d) None of the above
рдХрдерди рд╣реИ :
(рдЕ) рд╡реНрд╣рд┐рдкрд▓ рдкреНрд░рдореЗрдп
(рдм) рдбрд┐рдХреНрд╕рди рдкреНрд░рдореЗрдп
(рд╕) рд╕рд╛рд▓реНрд╕рдЪреБрдЯреНреЫ рдкреНрд░рдореЗрдп
(рдж) рдЙрдкрд░реНрдпреБрдХреНрдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рдХреЛрдИ рдирд╣реАрдВ
(рдм) рдбрд┐рдХреНрд╕рди рдкреНрд░рдореЗрдп
(рд╕) рд╕рд╛рд▓реНрд╕рдЪреБрдЯреНреЫ рдкреНрд░рдореЗрдп
(рдж) рдЙрдкрд░реНрдпреБрдХреНрдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рдХреЛрдИ рдирд╣реАрдВ
(iv)
∞
∑
n=0 k=0 A(k, n) =
∞ ∑ n=0 k=0 A(k, n) =
(рдЕ)
∞
∑
n=0 k=0 A(k, n−k)
(рдм) ∞ ∑ n=0 k=0 A(k, n−k)
(рд╕) ∞ ∑ n=0 k=0 A(n+k, n)
(рдж) рдЙрдкрд░реНрдпреБрдХреНрдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рдХреЛрдИ рдирд╣реАрдВ
(рдм) ∞ ∑ n=0 k=0 A(k, n−k)
(рд╕) ∞ ∑ n=0 k=0 A(n+k, n)
(рдж) рдЙрдкрд░реНрдпреБрдХреНрдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рдХреЛрдИ рдирд╣реАрдВ
∞ ∑ n=0 k=0 A(k, n) =
(a)
∞
∑
n=0 k=0 A(k, n−k)
(b)
∞
∑
n=0 k=0 A(k, n−k)
(c) ∞ ∑ n=0 k=0 A(n+k, n)
(d) None of the above
(c) ∞ ∑ n=0 k=0 A(n+k, n)
(d) None of the above
(v)
0F1(−; a; z) =
0F1(−; a; z) =
(рдЕ)
∞
∑
m=0
(a)z
m!
(рдм) ∞ ∑ m=0 (a)z m!
(рд╕) ∞ ∑ m=0 (a)z n!
(рдж) рдЙрдкрд░реНрдпреБрдХреНрдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рдХреЛрдИ рдирд╣реАрдВ
(рдм) ∞ ∑ m=0 (a)z m!
(рд╕) ∞ ∑ m=0 (a)z n!
(рдж) рдЙрдкрд░реНрдпреБрдХреНрдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рдХреЛрдИ рдирд╣реАрдВ
0F1(−; a; z) =
(a)
∞
∑
m=0
(a)z
m!
(b) ∞ ∑ m=0 (a)z m!
(c) ∞ ∑ m=0 (a)z n!
(d) None of the above
(b) ∞ ∑ m=0 (a)z m!
(c) ∞ ∑ m=0 (a)z n!
(d) None of the above
рдЦрдгреНрдб 'рдм'
Section B
(рд▓рдШреБ рдЙрддреНрддрд░реАрдп рдкреНрд░рд╢реНрди)
(Short Answer Type Questions)
рдиреЛрдЯ : рд╕рднреА рдкреНрд░рд╢реНрди рд╣рд▓ рдХреАрдЬрд┐рдП ред
Attempt all questions.
5×5=25
2.
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that :
Γ(1/2) Γ(1/2) = −v − log 2 .
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
α+n α = (α)n .
Prove that :
Γ(1/2) Γ(1/2) = −v − log 2 .
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
α+n α = (α)n .
3.
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that :
F(a, b, c, 1) = Γ(c)Γ(c−a−b) Γ(c−a)Γ(c−b)
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
F(b−) = F(a, b−1; c; z).
Prove that :
F(a, b, c, 1) = Γ(c)Γ(c−a−b) Γ(c−a)Γ(c−b)
Re(c−a−b) > 0
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
F(b−) = F(a, b−1; c; z).
4.
рджрд░реНрд╢рд╛рдЗрдП рдХрд┐ :
Show that :
1F1(a, b; c) = 1 Γ(a) ∫01 ezt ta−1 (1−t)c−a−1 0F1(−; b; zt) dt .
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
3F2 −n, a, b; c, 1+c+a−b−n; 1 = (c−a)n (c−b)n (c)n (c−a−b)n .
Show that :
1F1(a, b; c) = 1 Γ(a) ∫01 ezt ta−1 (1−t)c−a−1 0F1(−; b; zt) dt .
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
3F2 −n, a, b; c, 1+c+a−b−n; 1 = (c−a)n (c−b)n (c)n (c−a−b)n .
5.
рджрд░реНрд╢рд╛рдЗрдП рдХрд┐ :
Show that :
dn dxn [xa+n−1 F(a, b; c; x)] = (a)n xa−1 F a+n, b; c; x.
Show that :
dn dxn [xa+n−1 F(a, b; c; x)] = (a)n xa−1 F a+n, b; c; x.
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рджрд░реНрд╢рд╛рдЗрдП рдХрд┐ :
Show that :
1F1(a, b; z) = ez 1F1(b−a, b; −z).
рджрд░реНрд╢рд╛рдЗрдП рдХрд┐ :
Show that :
1F1(a, b; z) = ez 1F1(b−a, b; −z).
рдЦрдгреНрдб 'рд╕'
Section C
(рджреАрд░реНрдШ рдЙрддреНрддрд░реАрдп рдкреНрд░рд╢реНрди)
(Long Answer Type Questions)
рдиреЛрдЯ : рд╕рднреА рдкреНрд░рд╢реНрди рд╣рд▓ рдХреАрдЬрд┐рдП ред
Attempt all questions.
5×9=45
6.
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that :
∞ ∑ n=0 k=0 B(k, n) = ∞ ∑ n=0 k=0 B(k, n+k).
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рджрд░реНрд╢рд╛рдЗрдП рдХрд┐ :
Show that :
1F1(a, b; z) = 1 Γ(a) ∫01 ezt ta−1 (1−t)c−a−1 0F1(−; b; zt) dt .
Prove that :
∞ ∑ n=0 k=0 B(k, n) = ∞ ∑ n=0 k=0 B(k, n+k).
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рджрд░реНрд╢рд╛рдЗрдП рдХрд┐ :
Show that :
1F1(a, b; z) = 1 Γ(a) ∫01 ezt ta−1 (1−t)c−a−1 0F1(−; b; zt) dt .
7.
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ рд▓реЗрдЬреЗрдиреНрдбреНрд░реЗ рджреЛрд╣рд░рд╛рд╡ рд╕реВрддреНрд░ :
Prove that Legendre duplication formula :
Γ(m+1/2) = &sqrt;π 22m−1 Γ(2m) (m > 0).
Prove that Legendre duplication formula :
Γ(m+1/2) = &sqrt;π 22m−1 Γ(2m) (m > 0).
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that :
F(a, b, a−b+1; −1) = Γ(1+b/2)Γ(1+b−a) Γ(1+b)Γ(1+b/2−a)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that :
F(a, b, a−b+1; −1) = Γ(1+b/2)Γ(1+b−a) Γ(1+b)Γ(1+b/2−a)
8.
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that :
(α)mn = mmn Γ(α/m) Γ(α/m+1/m) ... Γ(α/m+m−1/m) Γ(α/m+m−1/m+n) .
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that :
F(a, b; c; z) = Γ(c) Γ(b)Γ(c−b) ∫01 tb−1 (1−t)c−b−1 (1−zt)−a dt .
Prove that :
(α)mn = mmn Γ(α/m) Γ(α/m+1/m) ... Γ(α/m+m−1/m) Γ(α/m+m−1/m+n) .
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that :
F(a, b; c; z) = Γ(c) Γ(b)Γ(c−b) ∫01 tb−1 (1−t)c−b−1 (1−zt)−a dt .
9.
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that :
2F1 −n, a; 1+a+n; −x = (1−x)−a 2F1 1/2a, 1/2a+1/2; 1+a+n; −4x/(1−x)2.
Prove that :
2F1 −n, a; 1+a+n; −x = (1−x)−a 2F1 1/2a, 1/2a+1/2; 1+a+n; −4x/(1−x)2.
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that if |z|<1, then :
(1−z)−a 2F1 a, c−b; c; z/(1−z) = F(a, b; c; z).
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that if |z|<1, then :
(1−z)−a 2F1 a, c−b; c; z/(1−z) = F(a, b; c; z).
10.
рджрд░реНрд╢рд╛рдЗрдП рдХрд┐ :
Show that :
2F1 −n, 1−b−n; a; 1 = (a+b−1)2n (a)n (a+b−1)n .
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that if |z|<1, then :
(1−z)−a 2F1 a, c−b; c; z/(1−z) = F(a, b; c; z).
Show that :
2F1 −n, 1−b−n; a; 1 = (a+b−1)2n (a)n (a+b−1)n .
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that if |z|<1, then :
(1−z)−a 2F1 a, c−b; c; z/(1−z) = F(a, b; c; z).
11.
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ :
Prove that :
2F1(−2k, 2k; a; 2a) = (1/2)k (a+1/2)k .
Prove that :
2F1(−2k, 2k; a; 2a) = (1/2)k (a+1/2)k .
рдЕрдерд╡рд╛ (Or)
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рд░рд╛рдорд╛рдиреБрдЬрди рдХрд╛ рдкреНрд░рдореЗрдп :
Prove that Ramanujan's theorem :
1F1 a; b; x 1F1 a; b; −x = 2F3 a, b−a; b; 1/2b; 1/2b+1/2; x4/4.
рд╕рд┐рджреНрдз рдХреАрдЬрд┐рдП рд░рд╛рдорд╛рдиреБрдЬрди рдХрд╛ рдкреНрд░рдореЗрдп :
Prove that Ramanujan's theorem :
1F1 a; b; x 1F1 a; b; −x = 2F3 a, b−a; b; 1/2b; 1/2b+1/2; x4/4.