Theory Of Linear Operators-I

(i) एक परिमित आयामी जटिल मानक समष्टि X ≠ {0} पर एक रैखिक ऑपरेटर के ______ आइगेन मान होते/होता है ।

(i) A linear operator on a finite dimensional complex normed space X ≠ {0} has ______ eigen value.

A linear operator on a finite dimensional complex normed space X ≠ {0} has ______ eigen value.

(a) Finitely many

(b) Infinite

(c) Zero

(d) At least one

(ii) एक जटिल बनाछ समष्टि पर एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर T के लिए स्पेक्ट्रम ______ होता है ।

(ii) For a bounded linear operator T on a complex Banach space the spectrum is___________

(iii) यदि X एक जटिल बनाछ समष्टि है, S, T ∈ B(X,X) और ST = TS तो :

(iii) If X is a complex Banach space, S, T ∈ B(X,X) and ST = TS then :

(iv) मान लीजिए कि X और Y मानक समष्टियाँ हैं और T_j : X → Y j =1, 2 के लिए, दो कॉम्पैक्ट रैखिक ऑपरेटर हैं, तो :

(iv) Let X and Y be normed spaces and T_j : X → Y for j =1, 2, be two compact linear operator, then :

(v) एक कॉम्पैक्ट रैखिक ऑपरेटर और एक बाउंडेड रैखिक ऑपरेटर की संरचना से ______ रैखिक ऑपरेटर प्राप्त होता है ।

(v) Composition of a compact linear operator and a bounded linear operator yields___________ linear operator.

एक रैखिक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम और उसके प्रकारों को परिभाषित कीजिए ।

Define spectrum of a linear operator and its types.

सिद्ध कीजिए कि एक सदिश समष्टि X पर एक रैखिक ऑपरेटर T के विभिन्न आइगेन मान के अनुरूप आइगेन सदिश T पर रैखिकतः रूप से स्वतंत्र समुच्चय का गठन करते हैं ।

Prove that eigen vectors corresponding to different eigen values of a linear operator T on a vector space X constitute a linearly independent set.

सिद्ध कीजिए कि दिए गए आव्यूह A =

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