Operation Research-I - BU 2024 Question Paper

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Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : 85

नोट : सभी खण्डों से निर्देशानुसार प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

Attempt questions of all Sections as directed.

खण्ड 'अ'

Section A

(वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

(Objective Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । 2×5=10

Attempt all questions.

सही उत्तर का चयन कीजिए :

Choose the correct answer :

(i) ऑपरेशन रिसर्च है :

Operation Research is :

an applied decision theory
a scientific approach to problems-solving for executive management
the science of the use of
All of the above

(ii) OR मॉडल में निर्णय चर हैं :

अनियंत्रणीय
अनियंत्रणीय
प्राचल
स्थिरांक

Decision variables in an OR model are :

Controllable
Uncontrollable
Parameters
Constants

(iii) LPP में उद्देश्य फलन के न्यूनतमकरण का अर्थ है :

स्वीकार्य निर्णयों में से चुना गया अधिकतम मान
स्वीकार्य निर्णयों में से चुना गया अधिकतम मान
दोनों (अ) तथा (ब)
उपर्युक्त में से कोई नहीं

Minimization of objective function in LPP means :

greatest value chosen among the allowable decisions
least value chosen among the allowable dicisions
Both (a) and (b)
None of the above

(iv) अधिकतमकरण LPP के लिए, कृत्रिम चर के लिए उद्देश्य फलन गुणांक है :

+ M
- M
+ 1
0 (शून्य)

For maximization LPP, the objective function coefficient for an artificial variable is :

+ M
- M
+ 1
0 (zero)

(v) यदि द्वैत का अपरिबद्ध हल है तो आद्य है :

an unbounded solution
a feasible solution
an infeasible solution
None of the above

If dual has an unbounded solution primal has :

an unbounded solution
a feasible solution
an infeasible solution
None of the above

खण्ड 'ब'

Section B

(लघु उत्तरीय प्रश्न)

(Short Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । 5×5=25

Attempt all questions.

ऑपरेशन रिसर्च के क्षेत्र का वर्णन कीजिए ।

Describe the scope of Operation Research.

अथवा (Or)

ऑपरेशन रिसर्च क्या है ? समझाइए ।

What is Operation Research ? Explain.

मॉडल के लाभ और सीमाएँ समझाइए ।

Explain the advantages and limitations of Models.

अथवा (Or)

मॉडल की विभिन्न वर्गीकरण योजनाओं की व्याख्या कीजिए ।

Explain various classification schemes of models.

दो चरों वाली किसी LPP को हल करने की आलेख विधि की व्याख्या कीजिए ।

Explain the graphical method of solving an LPP involving two variables.

अथवा (Or)

कोयले के तीन ग्रेड A, B और C में राख और फॉस्फोरस अशुद्धियों के रूप में होते हैं। एक विशेष औद्योगिक प्रक्रिया में उपयुक्त ग्रेड को मिलाकर प्राप्त ईंधन में 25% से अधिक राख और .03% फॉस्फोरस की आवश्यकता नहीं होती है। ईंधन की अधिकतम माँग 100 टन है। कोयले के विभिन्न ग्रेडों की प्रतिशत अशुद्धियाँ और लागत नीचे दर्शाई गई हैं। यह मानते हुए कि कोयले के प्रत्येक ग्रेड की असीमित आपूर्ति है और मिश्रण में कोई नुकसान नहीं है, लागत को कम करने के लिए मिश्रण समस्या का निरूपण कीजिए :

कोयल ग्रेड	%राख	%फॉस्फोरस	प्रति टन लागत (रू. में)
A	30	0.02	240
B	20	0.04	300
C	35	0.03	280

Three grades of coal A, B and C contain ash and phosphorus as impurities. In a particular industrial process a fuel obtained by blending the above grades containing not more than 25% ash and .03% phosphorus is required. The maximum demand of the fuel is 100 tons. Percentage impurities and costs of the various grades of coal are shown below. Assuming that there is an unlimited supply of each grade of coal and there is no loss in blending, formulate the blending problem to minimise the cost :

Coal grade	%Ash	%Phosphorus	Cost per ton (in Rs.)
A	30	0.02	240
B	20	0.04	300
C	35	0.03	280

दर्शाइए कि रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित निकाय का एक अपभ्रष्ट हल है :

$$ 2x_1 + x_2 - x_3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 $$

Show that the following system of linear equations has a degenerate solution :

$$ 2x_1 + x_2 - x_3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 $$

अथवा (Or)

निम्नलिखित को परिभाषित कीजिए :

मूल व्यवहार्य हल
अपभ्रष्ट मूल हल ।

Define the following :

Basic feasible solution
Degenerate basic solution

खण्ड 'स'

Section C

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)

(Long Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए । 10×5=50

Attempt all questions.

निम्नलिखित LPP का द्वैत प्राप्त कीजिए :

न्यूनतमीकरण Z = 4x₁ + 6x₂ + 18x₃

प्रतिबंधों के अधीन :

$$ x_1 + 3x_2 \ge 3 \\ x_2 + 2x_3 \ge 5 $$

तथा

$$ x_1, x_2, x_3 \ge 0. $$

Write the dual of the LPP :

Minimize Z = 4x₁ + 6x₂ + 18x₃

subject to the constraints :

$$ x_1 + 3x_2 \ge 3 \\ x_2 + 2x_3 \ge 5 $$

and

$$ x_1, x_2, x_3 \ge 0. $$

अथवा (Or)

सिद्ध कीजिए कि द्वैत का द्वैत आद्य होता है ।

Prove that the dual of the dual is the primal.

ऑपरेशन रिसर्च की उत्पत्ति और विकास को संक्षेप में समझाइए ।

Explain briefly origin and development of operation research.

अथवा (Or)

ऑपरेशन रिसर्च की प्रकृति और इसके अनुप्रयोग को व्याख्या कीजिए ।

Explain the nature of operation research and its application.

ऑपरेशन रिसर्च के विभिन्न चरणों का संक्षेप में वर्णन कीजिए ।

Describe briefly the different phases of operation research.

किसी उत्पाद की पूरी इकाई में घटक A को चार इकाइयाँ और घटक B को तीन इकाइयाँ होती हैं । दो घटक (A और B) दो अलग-अलग कच्चे माल से निर्मित होते हैं, जिनमें से क्रमशः 100 इकाइयाँ और 200 इकाइयाँ उपलब्ध हैं । तीन विभाग उत्पादन प्रक्रिया में लगे हुए हैं, प्रत्येक विभाग प्रति उत्पादन रन घटकों के निर्माण के लिए एक अलग विधि का उपयोग करता है और प्रत्येक घटक की पुनर्परिणाम इकाइयाँ नीचे दी गई हैं :

प्रति रन इनपुट (इकाइयाँ) आउटपुट प्रति रन (इकाइयाँ)

विभाग कच्ची कच्ची घटक घटक

सामग्री सामग्री

विभाग	प्रति रन इनपुट (इकाइयाँ)		आउटपुट प्रति रन (इकाइयाँ)
विभाग	I	II	A	B
1	7	5	6	4
2	4	8	5	8
3	2	7	7	3

A complete unit of a product consists of four units of component A and three units of component B. The two components (A and B) are manufactured from two different raw materials of which 100 units and 200 units, respectively, are available. Three departments are engaged in the production process with each department using a different method for manufacturing the components per production run and the recoluting units of each component are given below :

Department	Input per run (units)		Output per run (Units)
Department	Raw Material I	Raw Material II	Component A	Component B
1	7	5	6	4
2	4	8	5	8
3	2	7	7	3

Formulate this problem as a linear programming model so as to determine the number of production runs for each department which will maximize the total number of complete units of the final product.

अथवा (Or)

निम्नलिखित LPP को हल करने के लिए आलेखी विधि का उपयोग कीजिए :

न्यूनतमीकरण Z = -x₁ + 2x₂

प्रतिबंधों के अधीन :

$$ -x_1 + 3x_2 \le 10 \\ x_1 + x_2 \le 6 \\ x_1 - x_2 \le 2 $$

तथा

$$ x_1 \ge 0, x_2 \ge 0. $$

Use the graphical method to solve the following LPP :

Minimize Z = -x₁ + 2x₂

subject to constraints :

$$ -x_1 + 3x_2 \le 10 \\ x_1 + x_2 \le 6 \\ x_1 - x_2 \le 2 $$

and

$$ x_1 \ge 0, x_2 \ge 0. $$

10.

दो चरण सिम्पलेक्स विधि का उपयोग करके हल कीजिए :

अधिकतमीकरण Z = 5x₁ + 3x₂

प्रतिबंधों के अधीन :

$$ 2x_1 + x_2 \le 1 \\ x_1 + 4x_2 \ge 6 $$

तथा

$$ x_1, x_2 \ge 0. $$

Use two phase simplex method to solve :

Maximize Z = 5x₁ + 3x₂

subject to the constraints :

$$ 2x_1 + x_2 \le 1 \\ x_1 + 4x_2 \ge 6 $$

and

$$ x_1, x_2 \ge 0. $$

अथवा (Or)

सिम्पलेक्स एल्गोरिदस द्वारा किसी भी LPP के हल के लिए चरण लिखिए ।

Write steps for the solution of any LPP by Simplex Algorithm.

11.

निम्नलिखित LPP का द्वैत प्राप्त कीजिए :

अधिकतमीकरण Z = 2x₁ + 3x₂ + x₃

प्रतिबंधों के अधीन :

$$ 4x_1 + 3x_2 + x_3 = 6 \\ x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 4 $$

तथा

$$ x_1, x_2, x_3 \ge 0. $$

Obtain the dual of the following LPP :

Maximize Z = 2x₁ + 3x₂ + x₃

subject to the constraints :

$$ 4x_1 + 3x_2 + x_3 = 6 \\ x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 4 $$

and

$$ x_1, x_2, x_3 \ge 0. $$

अथवा (Or)

कमजोर द्वैत प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove weak duality theorem.