Functional Analysis-Ii

हिल्बर्ट एड्जॉइंट ऑपरेटर T* को परिभाषित कीजिए ।

Define Hilbert adjoint operator T*.

सिद्ध कीजिए कि हिल्बर्ट समष्टि H पर दो बंधित स्व-सहायक रैखिक ऑपरेटर S और T का गुणनफल स्व-सहायक है यदि और केवल तभी जब ऑपरेटर ST = TS पर कम्यूट करते हैं ।

Prove that the product of two bounded self adjoint linear operator S and T on a Hilbert space H is self adjoint if and only if the operators commute at ST=TS.

सब-लीनियर फंक्शनल को परिभाषित कीजिए ।

Define Sub-linear functional.

हान बानाख प्रमेय का सामान्यीकृत रूप बताइए ।

State generalized form of Hahn Banach Theorem.

सिद्ध कीजिए कि प्रतिवर्ती सामान्य समष्टि पूर्ण हैं ।

Prove that reflexive normal space is complete.

सहायक ऑपरेटर को परिभाषित कीजिए ।

Define adjoint operator.

एकसमान परिबद्धता प्रमेय का कथन दीजिए ।

Give the statement of Uniform boundedness theorem.

बंद रैखिक ऑपरेटर को परिभाषित कीजिए ।

Define Closed Linear Operator.

फंक्श नल्स के सिल्वेंस के मजबूत और कमजोर* सिल्वेंस को परिभाषित कीजिए ।

Define strong and weak* convergence of a sequence of Functionals.

दर्शाइए कि T का हिल्बर्ट सहायक ऑपरेटर T* अद्वितीय है और मानक के साथ सीमित रैखिक ऑपरेटर है ।

Show that the Hilbert adjoint operator T* is unique and bounded linear operator with norm.

यदि T: H → H हिल्बर्ट समष्टि H पर एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है, तो निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए :

If T: H → H is a bounded linear operator on a Hilbert space H then prove the following :

1. (अ) यदि T स्व-सहायक संयुक्त्त है, तो $\left$ सभी $x \in H$ के लिए वास्तविक है ।
   It T is self Adjoint, $\left$ is real for all $x \in H$.
2. (ब) यदि H सिम्मिश्र है और $\left$ सभी $x \in H$ के लिए वास्तविक है, तो ऑपरेटर T स्व-सहायक है ।
   If H is complex and $\left$ is real for all $x \in H$, the operator T is self adjoint.

मानकीकृत समष्टि के लिए हान बानाख प्रमेय को बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Hahn Banach theorem for normed spaces.

यदि X एक मानकीकृत समष्टि है और $x_0$ X का कोई शून्येतर तत्व है, तो दर्शाइए कि X का एक ऐसा परिबद्ध रैखिक फंक्श नल $\bar{f}$ मौजूद है जैसे कि :

If X is a normed space and $x_0$ is any non-zero element of X, then show that there exists a bounded linear functionals $\bar{f}$ of X such that :

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक हिल्बर्ट समष्टि H रिफलेक्सिव है ।

Prove that every Hilbert space H is reflexive.

यदि $(x_n)$ मानकीकृत समष्टि में एक अनुक्रम है, तो दर्शाइए कि मजबूत अभिसरण समान सीमा के साथ कमजोर अभिसरण को दर्शाता है, लेकिन विपरीत आमतौर पर सत्य नहीं है ।

If $(x_n)$ is a sequence in normed space then show that strong convergence implies weak convergence with the same limit but the converse is not generally true.

दर्शाइए कि $||x|| = \max |a_j|$ (जहाँ $a_0, a_1, ......$ x के गुणांक हैं) द्वारा परिभाषित मानक वाले सभी बहुपदों का मानकीकृत समष्टि X पूर्ण नहीं है ।

Show that the normed space X of all polynomials with norm defined by $||x|| = \max |a_j|$ (where $a_0, a_1, ......$ the coefficients of x) is not complete.

सिद्ध कीजिए कि ऑपरेटर $T_n \in B(X, Y)$ का एक अनुक्रम $(T_n)$ जहाँ X और Y बनाख समष्टि हैं, मजबूत ऑपरेटर अभिसारी है यदि और केवल तभी जब :

Prove that a sequence $(T_n)$ of operators $T_n \in B(X, Y)$ where X and Y are Banach spaces, is strongly operator convergent if and only if :

1. (अ) अनुक्रम $(||T_n||)$ परिबद्ध है
   The sequence $(||T_n||)$ is bounded.
2. (ब) अनुक्रम $(T_n x)$ के खुले उपसमूह M में प्रत्येक x के लिए Y में काशी है ।
   The sequence $(T_n x)$ is Cauchy in Y for every x in a total subset M of X.

क्लोज्ड ग्राफ प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Closed Graph Theorem.