Integral Transform-Ii - BU 2025 Question Paper

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ST-508

M. Sc. (Reg./Pvt./ATKT) Examination, 2025

(Fourth Semester)

MATHEMATICS

Paper X

Integral Transform-II

Time : 3 Hours]

[Maximum Marks : Reg.: 85, Pvt.: 100]

नोट : सभी खण्डों से प्रश्नों के निर्देशानुसार उत्तर दीजिए ।

Attempt all questions as directed.

खण्ड 'अ'

Section A

(वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

(Objective Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

Attempt all questions.

10x1.5=15

सही उत्तर का चयन कीजिए :

Choose the correct answer :

f(x) = 1/x का साइन रूपांतरण है :

The sine transform of f(x) = 1/x is :

(अ) \sqrt{\pi/2}

(a) \sqrt{\pi/2}

(ब) \pi/\sqrt{2}

(b) \pi/\sqrt{2}

(स) \pi/2

(द) \sqrt{2\pi}

(d) \sqrt{2\pi}

e^-x का कोसाइन रूपांतरण है :

The cosine transform of e^-x is :

(अ) s/(1+s²)

(a) s/(1+s²)

(ब) 1/(1+s²)

(b) 1/(1+s²)

(स) 1/(1-s²)

(द) s/(1-s²)

(d) s/(1-s²)

f(x) = 2x, 0 < x < 4 का परिमित फूरियर साइन रूपांतरण है :

The finite Fourier sine transform of f(x) = 2x, 0 < x < 4 is :

(अ) 16/(n\pi)

(a) 16/(n\pi)

(ब) -16/(n\pi)

(b) -16/(n\pi)

(स) -16(-1)ⁿ/(n\pi)

(द) 1

(d) 1

यदि f(s) फूरियर रूपांतरण है f(x) का, तो e^-iax f(x) इसका फूरियर रूपांतरण है :

If f(s) is the Fourier transform of f(x), then e^-iax f(x) is the Fourier transform of :

(अ) F(ax)

(a) F(ax)

(ब) F(x-a)

(b) F(x-a)

(स) F(a-x)

(द) 1

(d) 1

f(x) और g(x) के संवलन का फूरियर रूपांतरण निम्न का गुणनफल है :

The Fourier transform of the convolution of f(x) and g(x) is the product of :

(अ) 0 and 1

(a) 0 and 1

(ब) F(x/a) तथा F(ax)

(b) F(x/a) and F(ax)

(स) e^-ap तथा e^-bp

(द) उनके फूरियर रूपांतरण

(d) Their Fourier transforms

फूरियर श्रंखला के लिए पार्सवल असमिका में, f(x) होता है :

In Parseval's identity for Fourier series, f(x) is :

(अ) अभिसारी

(a) convergent

(ब) अपसारी

(b) divergent

(स) परिबद्ध

(द) दोलनी

(d) oscillatory

यदि f(s) फूरियर रूपांतरण है F(x) का, तो 1/a f(s/a) निम्न का फूरियर रूपांतरण है :

If f(s) is the Fourier transform of F(x), then 1/a f(s/a) is the Fourier transform of :

(अ) F(x/a)

(a) F(x/a)

(ब) F(a/x)

(b) F(a/x)

(स) F(a²x)

(द) F(ax)

(d) F(ax)

F_c[∂²u/∂x²] =

(अ) s u(x)|_x=0 - s² \bar{u}_s

(a) s u(x)|_x=0 - s² \bar{u}_s

(ब) ∂u/∂x

(b) ∂u/∂x

(स) s² \bar{u}_c

(द) 0

(d) 0

M(e^-x)

(अ) \Gamma(p), p>0

(a) \Gamma(p), p>0

(ब) p², p>0

(b) p², p>0

(स) 0

(द) 1

(d) 1

10.

H{e^-ax} =

(अ) a

(a) a

(ब) (a²+p²)

(b) (a²+p²)

(स) a(a²+p²)^-3/2

(द) 0

(d) 0

खण्ड 'ब'

Section B

(लघु उत्तरीय प्रश्न)

(Short Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

Attempt all questions.

5x5=25

11.

f(x) = \begin{cases} x, & |x|a \end{cases} का फूरियर रूपांतरण ज्ञात कीजिए ।

Find the Fourier transform of f(x) = \begin{cases} x, & |x|a \end{cases}.

अथवा (Or)

दर्शाइए कि f(x) = e^-x²/2 का फूरियर रूपांतरण \sqrt{2\pi} e^{-p^2/2} है ।

Show that the Fourier transform of f(x) = e^-x²/2 is \sqrt{2\pi} e^{-p^2/2}.

12.

f(x) = 2x, 0 < x < 4 का फूरियर साइन और कोसाइन रूपांतरण ज्ञात कीजिए ।

Find the Fourier sine and cosine transform of f(x) = 2x, 0 < x < 4.

13.

सिद्ध कीजिए कि :

\int₀^∞ (dt)/((a²+t²)(b²+t²)) = \pi/(2ab(a+b))

Prove that :

\int₀^∞ (dt)/((a²+t²)(b²+t²)) = \pi/(2ab(a+b))

अथवा (Or)

रीमैन-लेबेस्की प्रमेय सिद्ध कीजिए ।

Prove Riemann-Lebesgue theorem.

14.

हल कीजिए ∂u/∂t = ∂²u/∂x² यदि u(0,t)=0, u(x,0)=e^-x, u(x,t) परिबद्ध है ।

Solve ∂u/∂t = ∂²u/∂x² if u(0,t)=0, u(x,0)=e^-x, u(x,t) is bounded.

अथवा (Or)

Solve ∂u/∂t = ∂²u/∂x² if u(0,t)=0, ∂u/∂x(0,t)=0, u(x,0) = \begin{cases} x, & 0 \le x \le 1 \\ 0, & x > 1 \end{cases} and u(x,t) is bounded where x > 0, t > 0

15.

x J₀(ax) को कर्नल के रूप में लेते हुए (1-x²) का परिमित हेंकल रूपांतरण ज्ञात कीजिए ।

Find the finite Hankel transform of (1-x²), taking x J₀(ax) as the kernel.

खण्ड 'स'

Section C

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)

(Long Answer Type Questions)

नोट : सभी प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

Attempt all questions.

5x9=45

16.

यदि f(s) फूरियर रूपांतरण है F(x) का, तो 1/a f(s/a) का फूरियर रूपांतरण F(ax) है । सिद्ध कीजिए ।

If f(s) is the Fourier transform of F(x), then 1/a f(s/a) is the Fourier transform of F(ax). Prove.

अथवा (Or)

लाप्लास रूपांतरण के लिए रैखिकीयता गुण सिद्ध कीजिए ।

Prove linearity property for Laplace transform.

17.

फूरियर इंटीग्रल सूत्र का उपयोग करके e^-x cos x ज्ञात कीजिए ।

Using Fourier integral formula find e^-x cos x.

अथवा (Or)

\pi/3 - x²/(2\pi) का परिमित कोसाइन रूपांतरण ज्ञात कीजिए ।

Find finite cosine transform of \pi/3 - x²/(2\pi).

18.

संवलन प्रमेय बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove convolution theorem.

अथवा (Or)

फूरियर रूपांतरण के लिए पार्सवल असमिका बताइए और सिद्ध कीजिए ।

State and prove Parseval's identity for Fourier transform.

19.

x = 0 और x = \pi, t > 0 और प्रारंभिक स्थिति V = f(x) के साथ सीमा शर्तों ∂V/∂x = 0 के साथ V = f(x) को 0 < x < \pi, t > 0 को हल करने के लिए परिमित कोसाइन रूपांतरण का उपयोग कीजिए, जब t = 0, 0 < x < \pi हो ।

Use finite cosine transform to solve ∂V/∂t = K ∂²V/∂x² with the boundary conditions ∂V/∂x = 0 when x = 0 and x = \pi, t > 0 and the initial condition V = f(x), when t = 0, 0 < x < \pi.

अथवा (Or)

निम्नलिखित को हल करने के लिए परिमित फूरियर रूपांतरण का उपयोग कीजिए :

Use finite Fourier transform to solve :

∂u/∂t = ∂²u/∂x², u(0,t)=0, u(4,t)=0, u(x,0)=2x

जहां 0 < x < \pi, t > 0 ।

where 0 < x < \pi, t > 0.

20.

अंतराल [-\pi, \pi] में e^x के लिए फूरियर श्रंखला प्राप्त कीजिए ।

Obtain the Fourier series for e^x in the interval [-\pi, \pi].

अथवा (Or)

(cos ax) ix का हेंकल रूपांतरण ज्ञात कीजिए ।

Find the Hankel transform of (cos ax) ix.